复变函数的星形函数与凸函数 我们先从几何角度理解单叶解析函数。若函数 \( f \) 在区域 \( D \) 内解析且单叶（即不同点映射到不同点），则 \( f \) 将 \( D \) 映射为平面上的区域。星形函数和凸函数是两类具有特殊几何性质的单叶解析函数。 1. 星形区域与星形函数的定义 若区域 \( D \) 满足：存在点 \( z_ 0 \in D \)，使得对任意 \( z \in D \)，连接 \( z_ 0 \) 与 \( z \) 的线段完全包含在 \( D \) 内，则称 \( D \) 为关于 \( z_ 0 \) 的星形区域。 例如，单位圆盘 \( |z| < 1 \) 关于原点星形。 设 \( f \) 在单位圆盘 \( \mathbb{D} = \{ z: |z| < 1 \} \) 内解析且单叶，且 \( f(0) = 0 \)，\( f'(0) = 1 \)（称为标准化条件）。若 \( f(\mathbb{D}) \) 是关于原点的星形区域，则称 \( f \) 为星形函数，记作 \( f \in S^* \)。 2. 星形函数的解析刻画 星形函数的几何性质可通过导数条件转化为解析条件： 定理 ：标准化函数 \( f \) 是星形函数当且仅当 \[ \operatorname{Re} \left( \frac{z f'(z)}{f(z)} \right) > 0 \quad (z \in \mathbb{D}). \] 解释 ：令 \( p(z) = z f'(z) / f(z) \)，则 \( p(z) \) 解析且实部为正，说明 \( p(z) \) 将单位圆盘映射到右半平面。几何上，\( \arg f(z) \) 随 \( \arg z \) 的增大而单调增加，使得 \( f(re^{i\theta}) \) 在扫描区域时始终“可见”从原点出发的射线。 3. 凸函数与凸区域 若区域 \( D \) 中任意两点的连线完全包含在 \( D \) 内，则称 \( D \) 为凸区域。 例如，半平面、圆盘是凸区域。 设 \( f \) 满足标准化条件，若 \( f(\mathbb{D}) \) 是凸区域，则称 \( f \) 为凸函数，记作 \( f \in K \)。 4. 凸函数的解析刻画 凸函数的几何性质等价于边界曲线的弯曲方向条件： 定理 ：标准化函数 \( f \) 是凸函数当且仅当 \[ \operatorname{Re} \left( 1 + \frac{z f''(z)}{f'(z)} \right) > 0 \quad (z \in \mathbb{D}). \] 推导思路 ：凸性要求边界曲线 \( f(e^{i\theta}) \) 的切线方向随 \( \theta \) 单调增加，即 \( \frac{d}{d\theta} \arg \left( i e^{i\theta} f'(e^{i\theta}) \right) > 0 \)。通过计算可化为上述条件。 5. 星形函数与凸函数的关系 亚历山大定理 ：若 \( f \) 是凸函数，则 \( z f'(z) \) 是星形函数。 证明概要 ：对凸函数 \( f \)，定义 \( g(z) = z f'(z) \)。利用凸性条件可验证 \( \operatorname{Re} \left( z g'(z)/g(z) \right) > 0 \)，故 \( g \in S^* \)。 反之，若 \( g \) 星形且 \( f(z) = \int_ 0^z \frac{g(\zeta)}{\zeta} d\zeta \)，则 \( f \) 凸。 6. 系数估计与增长定理 对星形函数 \( f(z) = z + a_ 2 z^2 + \cdots \)，有系数估计 \( |a_ n| \leq n \)（由罗巴切夫斯基-比伯巴赫猜想，已证明）。 凸函数的系数满足 \( |a_ n| \leq 1 \)。 几何意义：星形函数的像区域包含于以原点为中心的某圆盘，但凸函数具有更严格的边界约束。 7. 应用举例 星形函数与凸函数在极值问题中常见，例如在共形映射中，若目标区域是星形或凸的，则可利用上述解析条件构造映射函数。在流体力学中，凸区域对应无涡流的理想流体边界。