分析学词条：傅里叶变换
我们先从周期函数的傅里叶级数开始。对于一个以 \(2\pi\) 为周期的函数 \(f(t)\)，如果它满足某些条件（比如分段光滑），我们可以将其展开为一系列正弦和余弦函数的和：
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \right] \]
其中，系数 \(a_n\) 和 \(b_n\) 由函数 \(f(t)\) 本身通过积分决定。这个展开的物理意义是，一个复杂的周期振动可以分解为许多不同频率的简单简谐振动的叠加。
利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，我们可以将上述正弦余弦形式的级数改写为更简洁的复指数形式：
\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{int} \]
其中，复系数 \(c_n\) 由积分给出：\(c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt\)。这里的 \(n\) 是整数，所以频率是离散的（\(n=0, \pm1, \pm2, ...\)）。
现在，我们考虑非周期函数。非周期函数可以看作周期为无穷大的“周期函数”。当周期 \(T \to \infty\)，相邻频率点之间的间隔 \(\Delta \omega = \frac{2\pi}{T} \to 0\)，离散的频率序列 \(n\frac{2\pi}{T}\) 就变成了连续的频率变量 \(\omega\)。在这个过程中，傅里叶级数的求和 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\) 就自然地过渡到了对频率 \(\omega\) 的积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}\)。由此，我们得到了傅里叶变换对：
- 傅里叶变换（分析）：从一个时间（或空间）域的函数 \(f(t)\)，得到其频率域上的表示 \(\hat{f}(\omega)\)。
\[ \hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]
这个操作的目的在于“分析”函数 \(f(t)\) 中包含哪些频率成分，\(\hat{f}(\omega)\) 的模（绝对值）大小表示了频率为 \(\omega\) 的成分的“强度”。
- 傅里叶逆变换（综合）：从频率域的函数 \(\hat{f}(\omega)\)，恢复出原始的时间域函数 \(f(t)\)。
\[ f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]
这个操作的目的在于将各个频率成分“综合”回原始的信号。
傅里叶变换要良好定义，一个基本要求是函数 \(f(t)\) 的绝对值在整条实数轴上的积分是有限的，即 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)：
\[\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty \]
这个条件保证了积分 \(\hat{f}(\omega)\) 对每个 \(\omega\) 都是收敛的。然而，这个条件比较强，很多重要的函数（如常数函数、正弦函数）并不满足。为了推广傅里叶变换的适用性，我们将其定义扩展到更广的函数空间，特别是平方可积函数空间 \(L^2(\mathbb{R})\)，即满足：
\[\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt < \infty \]
在 \(L^2\) 空间上，傅里叶变换可以通过极限的方式定义，并且成为一个酉算子。这意味着它保持 \(L^2\) 空间的内积不变，从而也保持范数不变。这就得到了非常重要的帕塞瓦尔定理：
\[\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\omega)|^2 d\omega \]
这个定理有深刻的物理意义：等式左边表示信号在时间域上的总能量，右边（乘以常数因子后）表示信号在频率域上的总能量。因此，该定理表明傅里叶变换是能量守恒的。
傅里叶变换有许多重要的性质，这些性质使得它在求解微分方程、信号处理等领域非常强大：
- 线性性：\(\mathcal{F}\{af(t) + bg(t)\} = a\hat{f}(\omega) + b\hat{g}(\omega)\)
- 平移性质：时间域的平移对应于频率域的相移，\(\mathcal{F}\{f(t-a)\} = e^{-i\omega a}\hat{f}(\omega)\)
- 微分性质：函数求导的傅里叶变换等于其傅里叶变换乘以 \(i\omega\)，即 \(\mathcal{F}\{f'(t)\} = i\omega \hat{f}(\omega)\)。这个性质能将线性常微分方程化为代数方程，极大地简化了求解过程。
- 卷积定理：时间域上两个函数的卷积 \((f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau\) 的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的乘积，即 \(\mathcal{F}\{f*g\} = \hat{f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)\)。卷积在物理上代表线性时不变系统的响应，卷积定理将复杂的卷积运算简化为了乘法运算。
最后，傅里叶变换可以进一步推广到广义函数（或分布）的意义上。例如，常数函数、正弦函数、以及非常重要的狄拉克δ函数 \(\delta(t)\)，在经典意义下没有傅里叶变换，但在广义函数论框架下，我们可以定义它们的傅里叶变换。例如，δ函数的傅里叶变换为常数1：\(\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1\)。这个推广极大地扩展了傅里叶变换的应用范围，使其成为分析学中一个极为核心和强大的工具。