圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续四十四）

在之前的讨论中，我们详细分析了圆的渐开线与渐伸线在曲率、弧长参数和运动学上的对偶性。本讲将聚焦于这两条曲线在几何变换下的不变性，特别是反演变换和相似变换如何影响它们的微分几何关系。

1. 反演变换的基本概念
   反演变换是一种几何变换，它基于一个固定的圆（称为反演圆）将平面上的点进行映射。给定反演圆 \(O(R)\)（圆心为 \(O\)，半径为 \(R\)），对于任意点 \(P \neq O\)，其反演点 \(P'\) 满足：

\[ OP \cdot OP' = R^2 \]

且 \(P'\) 在射线 \(OP\) 上。反演变换具有以下关键性质：

• 保持角度不变（共形性）。
• 将过反演中心的直线映射为自身，将不过反演中心的圆映射为另一个圆（或直线）。
• 可能改变曲线的曲率和弧长，但保留某些几何结构。

2. 渐开线在反演变换下的行为
   设圆的渐开线由参数方程描述（以圆为基础曲线）。若以该圆的圆心为反演中心进行反演：

   • 渐开线可能被映射为另一条曲线，但其“展开”特性可能以某种形式保留。
   • 由于反演是共形变换，渐开线与原圆之间的正交性（切线垂直性）在映射后保持不变。
   • 曲率关系会发生变化，但渐开线的“等距性质”（渐开线上任一点到接触点的距离等于圆弧长）在反演后可能转化为对偶曲线上的类似性质。

3. 渐伸线在反演变换下的对应表现
   渐伸线作为渐开线的“原曲线”，在反演下可能映射为渐开线的反演曲线。具体而言：

   • 若渐伸线是圆，其反演可能仍是圆（或直线），而圆的渐开线的反演可能对应另一类渐开线。
   • 反演会交换渐开线和渐伸线的角色吗？在某些条件下，反演变换可能将渐开线-渐伸线对转换为新的渐开线-渐伸线对，但基础曲线（圆）的反演不再是圆时，这一关系需重新验证。

4. 相似变换下的不变性
   相似变换（均匀缩放、旋转、平移）保持角度和形状不变，但缩放会改变曲率和弧长。对于圆的渐开线和渐伸线：

   • 若对整个系统（圆、渐开线、渐伸线）施加相似变换，渐开线-渐伸线的微分几何关系（如曲率公式 \(\kappa_{\text{inv}} = 1/s\)）会因弧长 \(s\) 的缩放而调整，但关系结构保持不变。
   • 例如，若缩放因子为 \(k\)，弧长变为 \(ks\)，曲率变为 \(\kappa/k\)，但渐开线曲率与弧长的反比关系 \(\kappa_{\text{inv}} \propto 1/s\) 依然成立。

5. 变换下的微分几何关系守恒
   反演和相似变换虽改变具体参数，但保留了渐开线与渐伸线的核心对偶性：

   • 渐开线的曲率中心轨迹是渐伸线，这一性质在共形变换下可能转化为对偶曲线上的对应关系。
   • 运动学解释（绳子展开/缠绕）在相似变换下保持形式不变；在反演下，可能对应新的物理模型（如弹性介质中的波传播）。

下一步，我们将探讨这些变换在工程中的应用，例如齿轮设计中的缩放优化或反演变换在传动机构中的映射效应。