复变函数的解析函数项级数与一致收敛性 我们先从基础概念开始。解析函数项级数是指每一项都是解析函数的函数项级数，形如： \[ \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n(z) \] 其中每个 \( f_ n(z) \) 在区域 \( D \) 内解析。这种级数的和函数是否仍解析，取决于级数的收敛性质。若级数在 \( D \) 内内闭一致收敛（即在 \( D \) 的任意紧子集上一致收敛），则和函数在 \( D \) 内解析，且可逐项求导或积分。 一致收敛性是关键。若对任意紧子集 \( K \subset D \) 和任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N \) 使得当 \( m,n > N \) 时， \[ \left| \sum_ {k=n}^{m} f_ k(z) \right| < \epsilon \quad \forall z \in K, \] 则级数在 \( D \) 内内闭一致收敛。此条件保证了极限函数连续，且若各项解析，则和函数解析。 进一步，若级数内闭一致收敛，则可逐项求导： \[ \frac{d}{dz} \left( \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n(z) \right) = \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n'(z), \] 且求导后的级数同样内闭一致收敛。此性质源于柯西积分公式和一致收敛下的积分号下取极限。 一致收敛性还关联到级数的积分。若 \( \gamma \) 是 \( D \) 内可求长曲线，则 \[ \int_ {\gamma} \left( \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n(z) \right) dz = \sum_ {n=1}^{\infty} \int_ {\gamma} f_ n(z) dz, \] 即积分与求和可交换。这为复积分计算提供了便利。 最后，应用实例包括幂级数展开（一致收敛于解析函数）和部分分式展开（如余切函数的展开），体现了解析函数项级数在构造和表示函数中的核心作用。