圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续四十三）
在之前的讨论中，我们详细分析了圆的渐开线与渐伸线在微分几何框架下的基本对偶性质，包括它们的参数方程、弧长、曲率以及互为包络的关系。现在，我们将进一步探讨这两条曲线在测地曲率层面上的深刻联系，并阐明这种联系如何从它们的内在几何结构中自然涌现。
第一步：回顾测地曲率的定义
测地曲率 \(\kappa_g\) 是描述曲线在某个曲面上的“弯曲程度”的度量，具体是指曲线在该曲面的切平面上的投影的曲率。对于一个在平面上的曲线（平面本身可视为一个特殊的曲面），其测地曲率就等于其通常的曲率 \(\kappa\)，因为曲线完全位于该“曲面”（即平面）上。对于一条由参数 \(s\) (弧长) 给出的平面曲线 \(\vec{r}(s)\)，其曲率 \(\kappa\) 由下式给出：
\[ \kappa = \left\| \frac{d\vec{T}}{ds} \right\| \]
其中 \(\vec{T}\) 是单位切向量。由于平面是平坦的，这个 \(\kappa\) 就是其测地曲率 \(\kappa_g\)。
第二步：圆的渐伸线的测地曲率
我们已知，一个基圆半径为 \(a\) 的圆的渐伸线，其参数方程（以基圆上的滚动角 \(\theta\) 为参数）为：
\[ \begin{cases} x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta) \\ y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta) \end{cases} \]
其弧长微分 \(ds\) 与 \(d\theta\) 的关系为 \(ds = a\theta d\theta\)。
该渐伸线的曲率 \(\kappa_e\) 已被求出为：
\[ \kappa_e = \frac{1}{a\theta} \]
由于渐伸线是平面曲线，其测地曲率 \(\kappa_{g,e}\) 就等于其曲率：
\[ \kappa_{g,e} = \kappa_e = \frac{1}{a\theta} \]
这个结果非常简洁，它表明渐伸线的测地曲率与其当前点到渐伸线起点（对应于基圆上接触点）的弧长 \(s = \frac{1}{2}a\theta^2\) 的平方根成反比，或者说直接与参数 \(\theta\) 成反比。当 \(\theta \to 0^+\)（接近基圆），测地曲率趋于无穷大；当 \(\theta \to \infty\)（远离基圆），测地曲率趋于0，曲线逐渐变直。
第三步：圆的渐屈线（即基圆）的测地曲率
圆的渐屈线就是其基圆本身。基圆是一条半径为 \(a\) 的平面曲线。对于半径为 \(a\) 的圆，其曲率是常数 \(\kappa_c = \frac{1}{a}\)。
同样，作为平面曲线，基圆的测地曲率 \(\kappa_{g,c}\) 就等于其曲率：
\[ \kappa_{g,c} = \kappa_c = \frac{1}{a} \]
这是一个常数，反映了圆均匀弯曲的特性。
第四步：渐开线与渐伸线在测地曲率层面的关系——对偶性的深化
现在，我们审视渐伸线（\(\kappa_{g,e} = \frac{1}{a\theta}\)）和其渐屈线即基圆（\(\kappa_{g,c} = \frac{1}{a}\)）的测地曲率。
一个关键且优美的关系浮现出来：渐伸线上任一点的测地曲率，等于其对应渐屈线（基圆）上对应点的测地曲率除以参数 \(\theta\)。
\[ \kappa_{g,e} = \frac{\kappa_{g,c}}{\theta} \]
或者等价地写成：
\[ \kappa_{g,c} = \theta \cdot \kappa_{g,e} \]
几何解释：
- 动态变化与静态恒常： 渐伸线的测地曲率 \(\kappa_{g,e}\) 是动态变化的，它随着点远离基圆（\(\theta\) 增大）而连续减小。而它的渐屈线（基圆）的测地曲率 \(\kappa_{g,c}\) 是一个常数。这个关系精确地量化了“子代”曲线（渐伸线）的弯曲程度如何从其“父代”曲线（渐屈线）的恒定弯曲中演化而来。
- 参数 \(\theta\) 的桥梁作用： 参数 \(\theta\) 在此扮演了一个核心角色。它既是渐伸线展开的长度在基圆上对应的角度，也直接成为了连接两条曲线测地曲率的比例因子。这强化了 \(\theta\) 作为联系渐开线/渐伸线对偶结构的关键内在参数的地位。
- 对偶性的体现： 这个关系是渐开线与渐伸线深刻对偶性的又一明证。它不仅体现在位置向量、切线方向、弧长、曲率中心等层面，更深入到了描述曲线内在弯曲的测地曲率层面。渐伸线的局部弯曲特性完全由它的渐屈线（基圆）的恒定弯曲特性和两者的生成关系（由 \(\theta\) 刻画）所决定。
总结：
在本讲中，我们超越了曲线的基本微分几何量（如曲率），深入到测地曲率的层面来审视圆的渐开线与渐伸线。我们发现，渐伸线的测地曲率与其渐屈线（基圆）的测地曲率之间存在一个由生成参数 \(\theta\) 决定的简单比例关系：\(\kappa_{g,c} = \theta \cdot \kappa_{g,e}\)。这一关系深刻揭示了这两条对偶曲线在描述其内在弯曲性质上的紧密联系，是理解其微分几何对偶结构的一个重要深化。