广义函数空间上的傅里叶变换

1. 背景与动机
   在经典分析中，傅里叶变换要求函数具有足够的衰减性（如 \(L^1\) 或 \(L^2\) 空间），但许多重要函数（如常数、三角函数）不满足此条件。广义函数论通过将傅里叶变换推广到缓增分布空间 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\)，解决了这一局限性，允许对更广泛的“函数”（如狄拉克δ函数）进行频谱分析。

2. 缓增函数空间 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\)
   定义速降函数（Schwartz函数）空间：

\[ \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) = \left\{ \phi \in C^\infty(\mathbb{R}^n) : \sup_{x} |x^\alpha \partial^\beta \phi(x)| < \infty \ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n \right\}, \]

即所有导数在无穷远处比任何多项式衰减更快的光滑函数。其拓扑由半范数族 \(\|\phi\|_{\alpha,\beta} = \sup_x |x^\alpha \partial^\beta \phi|\) 定义，构成一个弗雷歇空间。

3. 缓增分布空间 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\)
   定义为 \(\mathcal{S}\) 的连续对偶空间，即所有线性泛函 \(T: \mathcal{S} \to \mathbb{C}\)，满足连续性条件：

\[ \phi_n \to 0 \ \text{in} \ \mathcal{S} \implies T(\phi_n) \to 0. \]

例如，局部可积且多项式增长的函数、δ函数及其导数均为缓增分布。

4. 傅里叶变换的定义
   • 在 \(\mathcal{S}\) 上：对 \(\phi \in \mathcal{S}\)，经典定义

\[ \hat{\phi}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) e^{-2\pi i x\cdot \xi} dx \]

是 \(\mathcal{S}\) 到自身的线性同构，且逆变换存在。

• 推广到 \(\mathcal{S}'\)：通过对偶性定义分布 \(T\) 的傅里叶变换 \(\hat{T}\) 为

\[ \langle \hat{T}, \phi \rangle = \langle T, \hat{\phi} \rangle, \quad \forall \phi \in \mathcal{S}, \]

其中 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示对偶配对。此定义保持傅里叶变换的线性性与可逆性。

5. 关键性质
   • 微分与乘法的对偶：

\[ \widehat{\partial^\alpha T} = (2\pi i \xi)^\alpha \hat{T}, \quad \widehat{(-2\pi i x)^\alpha T} = \partial^\alpha \hat{T}. \]

• 卷积定理：若 \(T \in \mathcal{S}'\) 且 \(\psi \in \mathcal{S}\)，则 \(\widehat{T \ast \psi} = \hat{T} \cdot \hat{\psi}\)。
• 常见变换例：
• \(\widehat{\delta} = 1\)（常数分布），
• \(\widehat{1} = \delta\)（频域中的冲激），
• \(\widehat{e^{2\pi i a x}} = \delta(\xi - a)\).

6. 应用与意义
   该理论为偏微分方程（如热方程、薛定谔方程）提供强工具，允许在分布意义下求解；同时是调和分析与概率论（特征函数）的核心基础。通过将傅里叶变换扩展到广义函数，实现了对奇异对象的频谱分析统一框架。