复变函数的茹利亚集与法图集 1. 基本概念与背景 茹利亚集和法图集是复动力系统中的核心概念，用于研究复平面上的迭代函数行为。考虑一个复变函数 \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)（通常为多项式或有理函数），对其定义迭代 \( f^n(z) \)（即连续应用 \( f \) \( n \) 次）。这两类集合描述了初始点 \( z \) 在迭代下的长期行为分类。 2. 法图集的定义与性质 定义 ：法图集 \( F(f) \) 是初始点的集合，使得在 \( f \) 的迭代下，其邻域内的动力学行为是"稳定的"或"规则的"。具体地，\( z \in F(f) \) 若存在邻域 \( U \ni z \)，使得迭代序列 \( \{f^n\}_ {n\geq 1} \) 在 \( U \) 上正规（即任意子列均存在局部一致收敛的子序列）。 特性 ： 法图集是开集（若存在稳定邻域，则其内点均稳定）。 它可能由多个连通分支组成，每个分支称为一个 稳定域 。 在法图集上，迭代行为可预测，例如收敛到周期轨道或呈现渐进周期性。 3. 茹利亚集的定义与性质 定义 ：茹利亚集 \( J(f) \) 是法图集的补集，即 \( J(f) = \mathbb{C} \setminus F(f) \)。 特性 ： 茹利亚集是闭集（因法图集为开集）。 它是非空的紧集（除非 \( f \) 是某些平凡情况）。 在茹利亚集上，迭代行为是"混沌的"：对初始条件敏感依赖，且迭代序列不正规。 茹利亚集常具有分形结构，例如自相似性或无穷细节。 4. 两类集合的动力学意义 法图集 ：代表稳定区域，例如： 吸引周期轨道的吸引域（迭代收敛到周期点）。 抛物域（迭代渐进收敛到中性周期点）。 西格尔盘或赫尔曼环（迭代呈现无理旋转行为）。 茹利亚集 ：是动力系统的"混沌中心"： 周期点在 \( J(f) \) 中稠密。 迭代在 \( J(f) \) 上传递（即存在轨道逼近任意点）。 系统在 \( J(f) \) 上具有拓扑混合性。 5. 经典例子：二次多项式 \( f_ c(z) = z^2 + c \) 当 \( c = 0 \)：\( f_ 0(z) = z^2 \)。 法图集 \( F(f_ 0) \) 是单位圆的外部（\( |z|>1 \)）和内部（\( |z| <1 \)），分别收敛到无穷远点和原点。 茹利亚集 \( J(f_ 0) \) 是单位圆周 \( |z|=1 \)，迭代行为为无理旋转或混沌。 当 \( c \neq 0 \)（如 \( c = -0.75 \)）：\( J(f_ c) \) 可能成为复杂分形（如连通的树状结构或非连通的康托集）。 6. 拓扑与度量性质 连通性 ：茹利亚集可能是连通的（如当 \( c \) 在曼德博罗集内）或不连通的（如康托集）。 分形维数 ：茹利亚集通常具有非整数豪斯多夫维数，例如二次函数的 \( J(f_ c) \) 维数可严格介于1和2之间。 不变性 ：\( f(J(f)) = J(f) = f^{-1}(J(f)) \)，即茹利亚集在迭代下完全不变。 7. 相关定理与应用 蒙泰尔定理 ：用于判定法图集的正规族行为。 双曲性假设 ：若 \( f \) 在 \( J(f) \) 上双曲（导数模有界远离1），则动力学行为更规则。 与曼德博罗集的关系 ：参数 \( c \) 的曼德博罗集定义为使 \( J(f_ c) \) 连通的 \( c \) 值集合，其边界本身是复杂分形。 8. 推广与扩展 高维复动力系统（如多项式自同构的茹利亚集）。 有理映射的茹利亚集可能具有更丰富的几何结构。 在数学物理中，茹利亚集出现在重正化群理论和混沌系统研究中。