仿射代数簇的正规化 第一步：从仿射代数簇的奇点引入需求 仿射代数簇 \( V \) 由多项式方程组定义，其坐标环 \( A(V) = k[ x_ 1, \dots, x_ n]/I(V) \) 可能不是整闭的（即非正规环）。例如，曲线 \( V: y^2 = x^3 \) 在原点有尖点，其坐标环 \( k[ x,y ]/(y^2 - x^3) \) 中元素 \( y/x \) 满足方程 \( t^2 - x = 0 \) 但不在环内，表明环非整闭。奇点常与坐标环的非正规性相关。 第二步：正规环与整闭性的严格定义 设 \( R \) 是整环，\( K \) 为其分式域。若 \( R \) 在 \( K \) 中整闭（即 \( K \) 中任一元素若满足以 \( R \) 中元素为系数的首一多项式，则它必属于 \( R \)），则称 \( R \) 是正规环。对于仿射代数簇 \( V \)，若其坐标环 \( A(V) \) 正规，则称 \( V \) 是正规簇。正规性意味着环没有“缺失”的整元素，几何上对应奇点的消除。 第三步：正规化的构造方法与存在性 对非正规的坐标环 \( A(V) \)，其正规化 \( \tilde{A} \) 是 \( A(V) \) 在分式域中的整闭包。由于 \( k \) 是完美域且 \( A(V) \) 是有限生成 \( k \)-代数，\( \tilde{A} \) 也是有限生成 \( k \)-代数（Noether正规化引理保证）。因此，存在仿射代数簇 \( \tilde{V} \) 使得 \( A(\tilde{V}) = \tilde{A} \)，并有一个自然态射 \( \pi: \tilde{V} \to V \) 诱导环嵌入 \( A(V) \hookrightarrow \tilde{A} \)。 第四步：正规化的几何性质与奇点改善 态射 \( \pi \) 是双有理的且有限（即预像紧致），因此 \( \tilde{V} \) 与 \( V \) 在稠密开集上同构，但 \( \tilde{V} \) 消除了 \( V \) 的奇点。例如，曲线 \( y^2 = x^3 \) 的正规化通过添加 \( t = y/x \) 实现，满足 \( t^2 = x \)，得到光滑曲线 \( \tilde{V}: (x,t) \mapsto (x,y) = (t^2, t^3) \)，其坐标环 \( k[ t ] \) 是正规的。 第五步：正规化的唯一性与函子性 正规化 \( \tilde{V} \) 在同构意义下唯一，且具有万有性质：任何从正规簇到 \( V \) 的态射均通过 \( \pi \) 分解。这使正规化成为消除奇点的典范方法，为研究簇的微分形式、除子理论等提供基础。