好的，我们开始学习一个新的几何词条。
圆的包络与微分方程的关系（续三）
我们已经探讨了如何通过微分方程来描述一个曲线族，并由此求出其包络线。现在，我们将深入一个更具体的几何实例，来直观地理解这一抽象关系。我们将研究一个由“动圆”构成的曲线族，并观察其包络如何自然呈现。
- 问题设定：一个“动圆”族
考虑一个在几何上易于想象的曲线族：所有圆心位于 x 轴上，并且同时经过一个固定点 \(P(0, a)\)（其中 \(a > 0\)）的圆。这个固定点 \(P\) 就是我们观察的“焦点”。
- 族参数：我们用圆心的横坐标 \(h\) 作为参数来区分不同的圆。因此，圆心坐标为 \((h, 0)\)。
- 圆的方程：一个圆心在 \((h, 0)\)，且经过点 \(P(0, a)\) 的圆，其半径 \(R\) 等于圆心到点 \(P\) 的距离，即 \(R = \sqrt{(h-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{h^2 + a^2}\)。
- 曲线族方程：将这个圆的几何条件转化为代数方程，我们得到该曲线族的方程为：
\[ F(x, y, h) = (x - h)^2 + y^2 - (h^2 + a^2) = 0 \]
请留意，方程中的 \(h^2\) 项在展开后会被消去。
- 建立微分方程
我们的目标是找到一条曲线，使得在它上面的每一点，都至少有一个该族的圆与之相切。根据之前的知识，这需要两个条件：
a. 点 \((x, y)\) 在某个参数为 \(h\) 的圆上：\(F(x, y, h) = 0\)。
b. 该点处，包络的切线与圆的切线重合，这等价于参数 \(h\) 满足 \(\frac{\partial F}{\partial h} = 0\)。- 首先，展开族方程：
\[ F(x, y, h) = x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - h^2 - a^2 = x^2 + y^2 - 2xh - a^2 = 0 \]
可以看到 \(h^2\) 项确实被消去了。简化后得到：
\[ x^2 + y^2 - a^2 = 2xh \quad \text{(式1)} \]
- 接着，求 \(F\) 对参数 \(h\) 的偏导数：
\[ \frac{\partial F}{\partial h} = \frac{\partial}{\partial h}(x^2 + y^2 - 2xh - a^2) = -2x \]
令其为零：
\[ \frac{\partial F}{\partial h} = -2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{(式2)} \]
这个结果非常有趣，它告诉我们，如果包络存在，那么它上面的点必须满足 \(x=0\)，即这些点都在 y 轴上。
- 求解包络线
现在我们将 (式2) \(x=0\) 代回原始的族方程 (式1) 中，以找出同时满足两个条件的点 \((x, y)\)。
- 将 \(x=0\) 代入 \(x^2 + y^2 - a^2 = 2xh\)：
\[ (0)^2 + y^2 - a^2 = 2(0)h \quad \Rightarrow \quad y^2 - a^2 = 0 \]
* 解这个方程：
\[ y^2 = a^2 \quad \Rightarrow \quad y = \pm a \]
- 因此，我们得到了两个点：\((0, a)\) 和 \((0, -a)\)。
- 几何解释与验证
这个结果有着清晰的几何意义：
- 点 \((0, a)\) 正是我们定义曲线族时使用的固定点 \(P\)。对于任意一个圆心在 x 轴上的圆，只要它经过点 \(P\)，那么点 \(P\) 本身必然是所有族中圆的公共点。在 \(P\) 点，这些圆彼此相交，但它们的切线方向各不相同。在这种情况下，点 \(P\) 被称为该曲线族的“歧点”，它确实是包络的一部分，但是一种特殊的奇点。
- 点 \((0, -a)\) 则更具一般包络的代表性。让我们验证它是否真的是包络。考虑一个圆心在 \((h, 0)\) 的圆，它经过点 \((0, -a)\)。根据圆的方程，其半径 \(R = \sqrt{h^2 + a^2}\)。圆心 \((h, 0)\) 到点 \((0, -a)\) 的距离也是 \(\sqrt{h^2 + a^2}\)，验证了点 \((0, -a)\) 在圆上。更重要的是，该圆在点 \((0, -a)\) 处的半径是竖直向上的（从 \((h, 0)\) 指向 \((0, -a)\)），因此该点的法线是竖直的，切线是水平的。对于不同的 \(h\)，所有圆在点 \((0, -a)\) 处都有相同的水平切线。因此，一条水平的直线 \(y = -a\) 在点 \((0, -a)\) 与族中的每一个圆都相切。所以，直线 \(y = -a\)（实际上只是其上的一个点满足条件，但延伸开来是整个点集的切线）就是该曲线族的包络线。更准确地说，包络由两个孤立的点构成：\((0, a)\) 和 \((0, -a)\)。
通过这个例子，你看到了微分方程方法如何从一个看似复杂的曲线族（无数个圆）中，精确地找出其包络（两个点）。这个过程将几何上的“相切”条件，通过偏导数为零的代数运算清晰地表达和求解了出来。