遍历理论中的光滑遍历理论 基本概念 光滑遍历理论研究具有光滑结构（如微分流形）的动力系统，其中变换是微分同胚或光滑映射。核心目标是将遍历理论的概率性结论（如遍历定理）与系统的微分结构（如导数、曲率）联系起来。例如，若系统定义在紧致光滑流形 \( M \) 上，变换 \( T: M \to M \) 是 \( C^r \) 微分同胚（\( r \geq 1 \)），则需分析 \( T \) 的导数（切映射）如何影响轨道的长期行为。 李雅普诺夫指数与双曲性 在光滑系统中，李雅普诺夫指数量化轨道在切空间中的指数增长率。若所有非零李雅普诺夫指数均不为零，则系统称为 非一致双曲系统 。更强条件下，若指数在全局范围内一致有界远离零，则称为 一致双曲系统 （如阿诺索夫系统）。双曲性保证了轨道的局部不稳定性与全局遍历性之间的关联，例如通过 稳定流形与不稳定流形 的横截性。 绝对连续性与SRB测度 在非一致双曲系统中，即使系统保留光滑体积形式（如刘维尔测度），其物理测度（SRB测度）可能奇异于体积测度。SRB测度沿不稳定流形绝对连续，即其条件测度在不稳定流形上等价于勒贝格测度。这允许通过 Pesin熵公式 关联熵与李雅普诺夫指数：\( h_ \mu(T) = \sum_ {\lambda_ i>0} \lambda_ i \)，其中 \( \mu \) 为SRB测度。 刚性现象与分类 光滑遍历理论中的刚性指特定遍历性质（如高混合性）强制系统具有代数结构。例如：若 \( C^2 \) 阿诺索夫微分同胚的周期点计数与某个双曲自同构一致，且保持光滑体积，则二者共轭（刚性定理）。此类结果依赖 正则性理论 （如Anosov-Sinai定理）和 共轭方程的可微性提升 。 应用与扩展 光滑遍历理论应用于部分双曲系统、刚体运动（如几何流）、及随机扰动（如随机动力系统）。例如， 部分双曲系统的中心叶状结构 可能破坏绝对连续性，但仍可通过 吉布斯测度 研究相变。当前前沿包括非均匀双曲系统的定量统计性质（如衰减关联）及其与几何不变量（如曲率）的关联。