局部环的完备化 我们先从局部环的概念开始。一个 局部环 是一个有唯一极大理想的交换环。记这个环为 \( R \)，其极大理想为 \( \mathfrak{m} \)。局部环在代数几何中对应着代数簇在一点附近的局部性质研究。 接下来，我们考虑 度量拓扑 。在一个局部环 \( (R, \mathfrak{m}) \) 上，我们可以定义一个度量（或者说一个拓扑结构）。方法是通过其极大理想幂的序列：对于 \( x, y \in R \)，定义它们的距离为 \( d(x, y) = c^{-n} \)，其中 \( c > 1 \) 是一个常数，而 \( n \) 是满足 \( x - y \in \mathfrak{m}^n \) 但不属于 \( \mathfrak{m}^{n+1} \) 的最大整数（如果不存在这样的 \( n \)，即 \( x=y \)，则距离为0；如果 \( x-y \) 在所有 \( \mathfrak{m}^n \) 中，则距离定义为0）。这个度量使得 \( R \) 成为一个拓扑环，其中理想链 \( R \supset \mathfrak{m} \supset \mathfrak{m}^2 \supset \cdots \) 构成了0点的一个邻域基。这个拓扑称为 \( \mathfrak{m} \)-进拓扑。 然而，在这个度量下，环 \( R \) 本身可能不是 完备 的，这意味着并非所有柯西序列都在 \( R \) 中收敛。这类似于有理数域 \( \mathbb{Q} \) 不是完备的，需要完备化得到实数域 \( \mathbb{R} \)。因此，我们需要对局部环进行完备化操作。 完备化 的构造过程如下：考虑所有柯西序列的集合 \( \{ (a_ n) \mid a_ n \in R \} \)。两个柯西序列 \( (a_ n) \) 和 \( (b_ n) \) 被认为是等价的，如果它们的差序列 \( (a_ n - b_ n) \) 收敛到0。等价类的集合构成了一个新的环，记为 \( \widehat{R} \)，称为环 \( R \) 关于极大理想 \( \mathfrak{m} \) 的完备化。更具体地，\( \widehat{R} \) 可以构造为逆向极限： \[ \widehat{R} = \varprojlim_ n R/\mathfrak{m}^n \] 这个极限中的元素是序列 \( (a_ n) \)，其中 \( a_ n \in R/\mathfrak{m}^n \)，并且满足一致性条件：对于每个 \( n \)，有 \( a_ {n+1} \equiv a_ n \mod \mathfrak{m}^n \)。这个构造确保了 \( \widehat{R} \) 本身是一个局部环，其极大理想是 \( \widehat{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m} \widehat{R} \)。 完备化环 \( \widehat{R} \) 具有一些关键性质。首先，它是 完备 的，即在其 \( \widehat{\mathfrak{m}} \)-进拓扑下，所有柯西序列都收敛。其次，有一个自然的环同态 \( R \to \widehat{R} \)，将 \( a \in R \) 映射到常数序列 \( (a, a, a, \ldots) \) 所在的等价类。这个映射在 \( R \) 是诺特环时是单射，但未必是满射。如果 \( R \) 本身已经是完备的（即 \( R \cong \widehat{R} \)），我们称 \( R \) 为一个 完备局部环 。 最后，我们来看一个重要的例子。取 \( R \) 为多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n] \) 在极大理想 \( \mathfrak{m} = (x_ 1, \dots, x_ n) \) 处的局部化 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n]_ {\mathfrak{m}} \)，其中 \( k \) 是一个域。那么 \( R \) 的完备化 \( \widehat{R} \) 就是形式幂级数环 \( k[ [ x_ 1, \dots, x_ n] ] \)。这个例子在代数几何中极为重要，因为它将代数簇在一点处的局部环（描述多项式函数）完备化为形式邻域（描述形式幂级数函数），从而允许我们使用更强大的解析工具来研究奇点等局部性质。