图的分数着色与分数团
字数 1818 2025-11-09 06:29:47

图的分数着色与分数团

图论中的分数着色与分数团是经典着色与团概念的推广，通过引入分数（有理数）允许更精细地描述图的结构性质。它们与整数规划、组合优化和算法设计密切相关。

1. 基本概念回顾

  • 经典着色：用 \(k\) 种颜色给顶点着色，相邻顶点颜色不同。色数 \(\chi(G)\) 是最小所需颜色数。
  • 经典团：图的完全子图。团数 \(\omega(G)\) 是最大团的大小。
  • 局限性：某些图中 \(\omega(G)\) 远小于 \(\chi(G)\)（如奇圈），但分数版本能更紧密地关联两者。

2. 分数着色的定义

分数着色允许顶点被分配多个颜色（以分数形式表示），核心思想是“颜色集的可重叠分配”。

  • 独立集覆盖模型：
    设 \(\mathcal{I}\) 是图 \(G\) 所有独立集的集合。分数着色要求为每个独立集 \(I \in \mathcal{I}\) 分配一个非负权重 \(w_I\)，使得对每个顶点 \(v\)，包含 \(v\) 的独立集的权重之和至少为 1。
    分数色数 \(\chi_f(G)\) 是所有可行权重分配下，权重总和 \(\sum_{I \in \mathcal{I}} w_I\) 的最小值。
  • 线性规划形式：

\[ \chi_f(G) = \min \sum_{I \in \mathcal{I}} w_I \quad \text{s.t.} \quad \forall v \in V(G), \sum_{I \ni v} w_I \ge 1, \quad w_I \ge 0. \]

对偶问题是分数团（见下文）。

3. 分数团的定义

分数团是经典团的分数推广，表示顶点可被“部分选择”到团中。

  • 权重分配模型：
    为每个顶点 \(v\) 分配非负权重 \(x_v\)，使得对每个独立集 \(I\)，顶点权重和 \(\sum_{v \in I} x_v \le 1\)。
    分数团数 \(\omega_f(G)\) 是所有权重分配下，顶点权重总和 \(\sum_{v \in V} x_v\) 的最大值。
  • 线性规划形式：

\[ \omega_f(G) = \max \sum_{v \in V} x_v \quad \text{s.t.} \quad \forall I \in \mathcal{I}, \sum_{v \in I} x_v \le 1, \quad x_v \ge 0. \]

由线性规划对偶性，有 \(\omega_f(G) = \chi_f(G)\)。

4. 与经典参数的关系

  • 基本不等式：

\[ \omega(G) \le \omega_f(G) = \chi_f(G) \le \chi(G). \]

  • 例子：
    • 奇圈 \(C_{2n+1}\)：\(\omega(G)=2\), \(\chi(G)=3\), 但 \(\chi_f(G) = 2 + \frac{1}{n}\)。
    • 完美图：\(\omega(G) = \chi_f(G) = \chi(G)\)。

5. 分数着色的等价定义（颜色多重集）

另一种直观定义：允许使用颜色集的多个副本（如颜色1可用多次），每个顶点被分配一个颜色子集，要求：

  • 相邻顶点的颜色子集不相交。
  • 每个颜色子集大小为 \(k\)（固定整数）。
    分数色数是 inf \(\frac{|颜色集副本总数|}{k}\)，其中下确界取遍所有可行 \(k\)。
    该定义与独立集覆盖模型等价，且解释了“分数”名称的由来。

6. 计算与算法性质

  • NP-难解性：计算 \(\chi_f(G)\) 是 NP-难的，但可通过线性规划在多项式时间内近似（因独立集数量指数级，但可通过列生成等优化方法处理）。
  • 近似算法：利用椭球法或内点法求解线性规划对偶，得到 \(\omega_f(G)\) 的近似值。

7. 应用与推广

  • 信道分配：无线网络中，分数着色模型允许频率的复用。
  • 资源分配：共享资源需避免冲突时，分数着色提供更灵活的方案。
  • 分数图论：推广到分数边着色、分数定向等，形成丰富理论体系。

分数着色与分数团揭示了图结构的深层对称性，是连续与离散组合问题的重要桥梁。

图的分数着色与分数团 图论中的分数着色与分数团是经典着色与团概念的推广，通过引入分数（有理数）允许更精细地描述图的结构性质。它们与整数规划、组合优化和算法设计密切相关。 1. 基本概念回顾 经典着色 ：用 \( k \) 种颜色给顶点着色，相邻顶点颜色不同。色数 \( \chi(G) \) 是最小所需颜色数。 经典团 ：图的完全子图。团数 \( \omega(G) \) 是最大团的大小。 局限性 ：某些图中 \( \omega(G) \) 远小于 \( \chi(G) \)（如奇圈），但分数版本能更紧密地关联两者。 2. 分数着色的定义 分数着色允许顶点被分配多个颜色（以分数形式表示），核心思想是“颜色集的可重叠分配”。 独立集覆盖模型 ： 设 \( \mathcal{I} \) 是图 \( G \) 所有独立集的集合。分数着色要求为每个独立集 \( I \in \mathcal{I} \) 分配一个非负权重 \( w_ I \)，使得对每个顶点 \( v \)，包含 \( v \) 的独立集的权重之和至少为 1。 分数色数 \( \chi_ f(G) \) 是所有可行权重分配下，权重总和 \( \sum_ {I \in \mathcal{I}} w_ I \) 的最小值。 线性规划形式 ： \[ \chi_ f(G) = \min \sum_ {I \in \mathcal{I}} w_ I \quad \text{s.t.} \quad \forall v \in V(G), \sum_ {I \ni v} w_ I \ge 1, \quad w_ I \ge 0. \] 对偶问题是分数团（见下文）。 3. 分数团的定义 分数团是经典团的分数推广，表示顶点可被“部分选择”到团中。 权重分配模型 ： 为每个顶点 \( v \) 分配非负权重 \( x_ v \)，使得对每个独立集 \( I \)，顶点权重和 \( \sum_ {v \in I} x_ v \le 1 \)。 分数团数 \( \omega_ f(G) \) 是所有权重分配下，顶点权重总和 \( \sum_ {v \in V} x_ v \) 的最大值。 线性规划形式 ： \[ \omega_ f(G) = \max \sum_ {v \in V} x_ v \quad \text{s.t.} \quad \forall I \in \mathcal{I}, \sum_ {v \in I} x_ v \le 1, \quad x_ v \ge 0. \] 由线性规划对偶性，有 \( \omega_ f(G) = \chi_ f(G) \)。 4. 与经典参数的关系 基本不等式 ： \[ \omega(G) \le \omega_ f(G) = \chi_ f(G) \le \chi(G). \] 例子 ： 奇圈 \( C_ {2n+1} \)：\( \omega(G)=2 \), \( \chi(G)=3 \), 但 \( \chi_ f(G) = 2 + \frac{1}{n} \)。 完美图：\( \omega(G) = \chi_ f(G) = \chi(G) \)。 5. 分数着色的等价定义（颜色多重集） 另一种直观定义：允许使用颜色集的多个副本（如颜色1可用多次），每个顶点被分配一个颜色子集，要求： 相邻顶点的颜色子集不相交。 每个颜色子集大小为 \( k \)（固定整数）。 分数色数是 inf \( \frac{|颜色集副本总数|}{k} \)，其中下确界取遍所有可行 \( k \)。 该定义与独立集覆盖模型等价，且解释了“分数”名称的由来。 6. 计算与算法性质 NP-难解性 ：计算 \( \chi_ f(G) \) 是 NP-难的，但可通过线性规划在多项式时间内近似（因独立集数量指数级，但可通过列生成等优化方法处理）。 近似算法 ：利用椭球法或内点法求解线性规划对偶，得到 \( \omega_ f(G) \) 的近似值。 7. 应用与推广 信道分配 ：无线网络中，分数着色模型允许频率的复用。 资源分配 ：共享资源需避免冲突时，分数着色提供更灵活的方案。 分数图论 ：推广到分数边着色、分数定向等，形成丰富理论体系。 分数着色与分数团揭示了图结构的深层对称性，是连续与离散组合问题的重要桥梁。