复变函数的积分表示与柯西型积分公式 我们先从最基础的积分表示概念开始。复变函数中，如果一个函数在某个区域内解析，那么它在该区域内的值可以通过边界上的积分来完全确定。这种思想是复分析的核心之一。你已经熟悉柯西积分公式，它表明：若函数 \(f(z)\) 在简单闭合曲线 \(C\) 及其内部解析，则对于 \(C\) 内部的任意一点 \(z_ 0\)，有 \[ f(z_ 0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{f(z)}{z - z_ 0} \, dz. \] 这个公式给出了函数在区域内部的值用边界积分表示的一个完美例子。 现在，我们考虑一个更一般的问题： 是否有可能用积分表示一个在区域内不一定解析的函数？ 这就是柯西型积分公式要解决的问题。柯西型积分的定义是： \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - z} \, d\zeta, \] 其中 \(\varphi(\zeta)\) 是定义在积分路径 \(C\) 上的一个函数（称为密度函数），它可能不是某个解析函数的边界值。这里的关键点是，即使 \(\varphi(\zeta)\) 本身不具有很好的解析性质，只要它满足一定的条件（例如，在 \(C\) 上赫尔德连续），那么由上述积分定义的函数 \(F(z)\) 在 \(C\) 的外部区域和内部区域都是解析的。 接下来，我们深入分析 \(F(z)\) 在穿过边界 \(C\) 时的行为。这是柯西型积分理论中最深刻和细微的部分。假设 \(C\) 是一条光滑的简单闭合曲线。当点 \(z\) 从内部趋近于 \(C\) 上的一点 \(t_ 0\) 时，\(F(z)\) 的极限值记为 \(F^+(t_ 0)\)；当 \(z\) 从外部趋近于 \(t_ 0\) 时，极限值记为 \(F^-(t_ 0)\)。那么，这两个极限值之间存在一个重要的关系，由 索霍茨基-普莱梅尔公式 给出： \[ F^+(t_ 0) = \frac{1}{2} \varphi(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{P.V.} \oint_ C \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - t_ 0} \, d\zeta, \] \[ F^-(t_ 0) = -\frac{1}{2} \varphi(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{P.V.} \oint_ C \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - t_ 0} \, d\zeta. \] 这里的 P.V. 表示柯西主值积分。将两式相减，我们得到 跳跃公式 ： \[ F^+(t_ 0) - F^-(t_ 0) = \varphi(t_ 0). \] 这个公式表明，柯西型积分 \(F(z)\) 在穿过边界 \(C\) 时，其极限值产生了一个跳跃，这个跳跃量正好等于密度函数 \(\varphi(\zeta)\) 在该点的值。这是柯西型积分的一个核心性质。 最后，我们探讨柯西型积分在求解边值问题中的应用。考虑一个典型的黎曼-希尔伯特问题：寻找一个在区域 \(D\) 内解析的函数 \(F(z)\)，使得它在边界 \(C\) 上满足条件 \(F^+(t) = G(t) F^-(t) + g(t)\)，其中 \(G(t)\) 和 \(g(t)\) 是给定的边界函数。通过取对数（在某些条件下），这类问题可以转化为一个跳跃问题，即寻找一个函数，其边界跳跃值为一个已知函数。此时，柯西型积分就提供了一个自然的求解工具：我们构造一个柯西型积分，其密度函数正是这个跳跃函数。然后，利用索霍茨基-普莱梅尔公式来分析边界行为，从而得到原问题的解。这种方法在弹性力学、流体力学和奇异积分方程理论中有着广泛的应用。