可测函数的正则化 1. 基本概念与动机 在实变函数中，可测函数的正则化是指通过修正函数在零测集上的值，使其具备更好的分析性质（如连续性、半连续性等）。例如，若两个函数仅在一个零测集上取值不同，则它们作为可测函数是等价的，但正则化会从中选择一个“代表性”函数，使其在拓扑或度量意义上更规则。常见的正则化目标包括构造连续逼近、调整函数至下半连续等。 2. 典型情形：勒贝格点的作用 对于局部可积函数 \( f \in L^1_ {\text{loc}}(\mathbb{R}^n) \)，其勒贝格点 \( x \) 满足： \[ \lim_ {r \to 0} \frac{1}{\mu(B_ r(x))} \int_ {B_ r(x)} |f(y) - f(x)| \, d\mu(y) = 0, \] 其中 \( B_ r(x) \) 是以 \( x \) 为中心、半径为 \( r \) 的球。勒贝格微分定理表明，几乎处处点都是勒贝格点。若定义 \( f^ (x) \) 为 \( f \) 在 \( x \) 处的极限平均： \[ f^ (x) = \lim_ {r \to 0} \frac{1}{\mu(B_ r(x))} \int_ {B_ r(x)} f(y) \, d\mu(y), \] 则 \( f^* \) 是 \( f \) 的一个正则化版本，且与 \( f \) 几乎处处相等，但 \( f^* \) 在勒贝格点处具有更好的连续性（例如，若 \( f \) 有界，则 \( f^* \) 是勒贝格连续的）。 3. 下半连续正则化 对于非负可测函数 \( f \)，常通过下确界极限构造其下半连续正则化 \( f_* \)： \[ f_ (x) = \liminf_ {y \to x} f(y). \] 此操作确保 \( f_ \) 是下半连续的，且 \( f_* \leq f \) 处处成立。若 \( f \) 本身下半连续，则 \( f_* = f \)。这一方法在变分法和优化中用于保证泛函的下半连续性。 4. 与索伯列夫空间的关系 在索伯列夫空间 \( W^{1,p} \) 中，函数可通过连续修正实现正则化：若 \( u \in W^{1,p}(\Omega) \)（\( p > n \) 且 \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \)），则存在 \( u \) 的一个连续代表元，使得修正后的函数在经典意义下连续，且与原函数几乎处处相等。这一性质依赖于索伯列夫嵌入定理。 5. 应用：测度表示与泛函分析 正则化常用于构造测度的密度函数。例如，若 \( \mu \) 是拉东测度，其正则化导数 \( \frac{d\mu}{d\lambda} \) 可通过极限平均定义，从而得到与 \( \mu \) 等价的函数表示。在泛函分析中，正则化算子（如磨光算子）可将可测函数光滑化，用于证明逼近定理。 6. 高阶推广：分布的正则化 在分布理论中，正则化指通过卷积将广义函数光滑化。若 \( T \) 是分布，\( \varphi_ \varepsilon \) 是磨光核，则 \( T * \varphi_ \varepsilon \) 是光滑函数，且当 \( \varepsilon \to 0 \) 时弱收敛于 \( T \)。这为研究偏微分方程的弱解提供了工具。 通过以上步骤，可测函数的正则化从基本概念延伸到现代分析中的核心工具，体现了实变函数与泛函分析、偏微分方程的深刻联系。