代数簇的Weil除子类群 代数簇的Weil除子类群是代数几何中研究除子线性等价性的重要工具，它通过将Weil除子模掉线性等价关系，刻画簇的几何性质。下面逐步展开讲解： 1. Weil除子的定义 设 \( X \) 是一个代数簇（例如仿射簇或射影簇）。 Weil除子 是形如 \[ D = \sum n_ i V_ i \] 的形式和，其中： \( V_ i \) 是 \( X \) 的余维数为 1 的不可约子簇（即 素除子 ）； \( n_ i \in \mathbb{Z} \)，仅有限项非零。 所有Weil除子构成一个自由阿贝尔群 \(\operatorname{Div}(X)\)，以素除子为基。 2. 主除子与线性等价 对于 \( X \) 上的非零有理函数 \( f \in K(X)^* \)，可定义其 主除子 ： \[ \operatorname{div}(f) = \sum_ {V} \operatorname{ord}_ V(f) \cdot V, \] 其中 \(\operatorname{ord}_ V(f)\) 是 \( f \) 沿子簇 \( V \) 的赋值（零点为正，极点为负）。 两个除子 \( D_ 1, D_ 2 \) 称为 线性等价 （记作 \( D_ 1 \sim D_ 2 \)），若存在 \( f \) 使得 \( D_ 1 - D_ 2 = \operatorname{div}(f) \)。主除子构成 \(\operatorname{Div}(X)\) 的子群 \(\operatorname{PDiv}(X)\)。 3. Weil除子类群的定义 Weil除子类群 定义为商群： \[ \operatorname{Cl}(X) = \frac{\operatorname{Div}(X)}{\operatorname{PDiv}(X)}. \] 它描述了除子在模掉有理函数生成的线性等价关系后的分类。 4. 例子：仿射空间与射影空间 仿射空间 \( \mathbb{A}^n \)：任何余维 1 的子簇由某个不可约多项式定义，但通过坐标变换可证明其主除子已覆盖所有除子，因此 \[ \operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0. \] 射影空间 \( \mathbb{P}^n \)：所有素除子由齐次多项式定义，且主除子对应齐次多项式的商。可证明 \[ \operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}, \] 生成元为超平面（例如 \( x_ 0 = 0 \)）。 5. 与Picard群的关系 当 \( X \) 是 正规簇 （奇点可控）时，Weil除子类群与 Picard群 \(\operatorname{Pic}(X)\)（可逆层同构类的群）同构： \[ \operatorname{Cl}(X) \cong \operatorname{Pic}(X). \] 这一同构将除子 \( D \) 映到可逆层 \( \mathcal{O}_ X(D) \)，其截面在 \( D \) 的极点处有特定行为。 6. 几何意义与应用 光滑曲线 ：\(\operatorname{Cl}(X)\) 等价于 度数为 0 的除子类群 （Jac簇的点群），反映曲线的模空间性质。 奇点分析 ：若 \(\operatorname{Cl}(X)\) 非平凡，可能指示 \( X \) 存在非局部主除子，与奇点类型相关（例如锥面）。 相交理论 ：除子类群是计算相交数的基础，如曲面上的曲线自交数。 7. 推广：Cartier除子类群 对于非正规簇，Weil除子可能过于粗糙，需引入 Cartier除子 （由局部方程定义）。但在正规情形下，Cartier除子类群与Weil除子类群一致。 通过以上步骤，我们看到了Weil除子类群如何从基本定义逐步深入到与几何、上同调理论的联系，成为研究代数簇分类与结构的重要不变量。