可测函数序列的依概率收敛
字数 2207 2025-11-09 04:44:03

可测函数序列的依概率收敛

1. 背景与动机

在实变函数与概率论中，研究函数序列的收敛性是一个核心问题。除了常见的几乎处处收敛和依测度收敛，依概率收敛是概率论中的标准术语，其定义与测度论中的依测度收敛完全一致，但更强调概率空间（即全空间测度为1）的背景。因此，本节将严格从测度论的角度，但结合概率论的语言，介绍这一概念。

2. 基本定义

设 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是一个概率空间（即 \(P(\Omega) = 1\)），\(\{X_n\}\) 是一列可测函数（即随机变量），\(X\) 是一个可测函数。若对任意 \(\varepsilon > 0\)，有

\[\lim_{n \to \infty} P\left( |X_n - X| \geq \varepsilon \right) = 0, \]

则称 \(\{X_n\}\) 依概率收敛于 \(X\)，记作 \(X_n \xrightarrow{P} X\)。

注：

  • 在一般测度空间 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 中，若 \(\mu(X) < \infty\)，依概率收敛即为依测度收敛。
  • 概率论中通常要求 \(\mu(X)=1\)，这使得“几乎处处”与“概率1”等价。

3. 与几乎处处收敛的关系

（1）几乎处处收敛的定义

若 \(P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X \right) = 1\)，即存在零测集 \(N\) 使得对 \(\omega \notin N\)，有 \(\lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\)，则称 \(\{X_n\}\) 几乎处处收敛于 \(X\)。

（2）关键结论

  • 几乎处处收敛必蕴含依概率收敛（利用Egorov定理在有限测度空间中的推论）。
  • 反之不成立：依概率收敛不能推出几乎处处收敛。例如，取 \([0,1]\) 上的Lebesgue测度，构造“滑动指示函数”序列：

\[ X_{n,k} = \mathbf{1}_{[(k-1)/2^n, k/2^n]}, \quad n \geq 1, \ k=1,\dots,2^n, \]

按字典序排列为 \(\{Y_m\}\)，则 \(Y_m \xrightarrow{P} 0\)，但对每个 \(\omega \in [0,1]\)，\(Y_m(\omega)\) 无限多次取1。

4. 依概率收敛的等价刻画

（1）子列原理

\(X_n \xrightarrow{P} X\) 当且仅当对任意子列 \(\{X_{n_k}\}\)，存在其子列 \(\{X_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(X\)。
证明思路：

  • 必要性：依概率收敛可构造子列使测度收敛速度几何衰减，再应用Borel-Cantelli引理得几乎处处收敛。
  • 充分性：若存在 \(\varepsilon > 0\) 使得 \(P(|X_n - X| \geq \varepsilon)\) 不趋于0，则可构造子列均不几乎处处收敛。

（2）连续映射定理

若 \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是连续函数，则 \(X_n \xrightarrow{P} X\) 蕴含 \(g(X_n) \xrightarrow{P} g(X)\)。
注：该性质对几乎处处收敛同样成立，但对依分布收敛需额外要求。

5. 收敛性的进一步推广

（1）依概率Cauchy序列

若对任意 \(\varepsilon > 0\)，有

\[\lim_{m,n \to \infty} P\left( |X_m - X_n| \geq \varepsilon \right) = 0, \]

则称 \(\{X_n\}\) 是依概率Cauchy序列。在完备的概率空间（如Lebesgue测度空间）中，依概率Cauchy序列必依概率收敛。

（2）与 \(L^p\) 收敛的关系

若 \(X_n \xrightarrow{L^p} X\)（即 \(\mathbb{E}[|X_n - X|^p] \to 0\)），则 \(X_n \xrightarrow{P} X\)。反之不成立，但若附加一致可积性，依概率收敛可推出 \(L^1\) 收敛。

6. 应用实例：大数定律

弱大数定律：设 \(\{X_n\}\) 是独立同分布随机变量序列，\(\mathbb{E}[X_1] = \mu\)，则样本均值 \(\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k\) 依概率收敛于 \(\mu\)。
证明要点：利用Chebyshev不等式（当方差存在时）或特征函数的收敛性（一般情形）。

总结

依概率收敛是连接测度论与概率论的重要概念，它弱于几乎处处收敛但强于依分布收敛。通过子列原理和连续映射定理，可灵活处理极限问题，并在大数定律等核心定理中起关键作用。

可测函数序列的依概率收敛 1. 背景与动机 在实变函数与概率论中，研究函数序列的收敛性是一个核心问题。除了常见的 几乎处处收敛 和 依测度收敛 ， 依概率收敛 是概率论中的标准术语，其定义与测度论中的 依测度收敛 完全一致，但更强调概率空间（即全空间测度为1）的背景。因此，本节将严格从测度论的角度，但结合概率论的语言，介绍这一概念。 2. 基本定义 设 \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \) 是一个概率空间（即 \( P(\Omega) = 1 \)），\( \{X_ n\} \) 是一列可测函数（即随机变量），\( X \) 是一个可测函数。若对任意 \( \varepsilon > 0 \)，有 \[ \lim_ {n \to \infty} P\left( |X_ n - X| \geq \varepsilon \right) = 0, \] 则称 \( \{X_ n\} \) 依概率收敛 于 \( X \)，记作 \( X_ n \xrightarrow{P} X \)。 注 ： 在一般测度空间 \( (X, \mathcal{A}, \mu) \) 中，若 \( \mu(X) < \infty \)，依概率收敛即为依测度收敛。 概率论中通常要求 \( \mu(X)=1 \)，这使得“几乎处处”与“概率1”等价。 3. 与几乎处处收敛的关系 （1）几乎处处收敛的定义 若 \( P\left( \lim_ {n \to \infty} X_ n = X \right) = 1 \)，即存在零测集 \( N \) 使得对 \( \omega \notin N \)，有 \( \lim_ {n \to \infty} X_ n(\omega) = X(\omega) \)，则称 \( \{X_ n\} \) 几乎处处收敛于 \( X \)。 （2）关键结论 几乎处处收敛必蕴含依概率收敛 （利用Egorov定理在有限测度空间中的推论）。 反之不成立 ：依概率收敛不能推出几乎处处收敛。例如，取 \( [ 0,1 ] \) 上的Lebesgue测度，构造“滑动指示函数”序列： \[ X_ {n,k} = \mathbf{1}_ {[ (k-1)/2^n, k/2^n ]}, \quad n \geq 1, \ k=1,\dots,2^n, \] 按字典序排列为 \( \{Y_ m\} \)，则 \( Y_ m \xrightarrow{P} 0 \)，但对每个 \( \omega \in [ 0,1] \)，\( Y_ m(\omega) \) 无限多次取1。 4. 依概率收敛的等价刻画 （1）子列原理 \( X_ n \xrightarrow{P} X \) 当且仅当对任意子列 \( \{X_ {n_ k}\} \)，存在其子列 \( \{X_ {n_ {k_ j}}\} \) 几乎处处收敛于 \( X \)。 证明思路 ： 必要性：依概率收敛可构造子列使测度收敛速度几何衰减，再应用Borel-Cantelli引理得几乎处处收敛。 充分性：若存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得 \( P(|X_ n - X| \geq \varepsilon) \) 不趋于0，则可构造子列均不几乎处处收敛。 （2）连续映射定理 若 \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 是连续函数，则 \( X_ n \xrightarrow{P} X \) 蕴含 \( g(X_ n) \xrightarrow{P} g(X) \)。 注 ：该性质对几乎处处收敛同样成立，但对依分布收敛需额外要求。 5. 收敛性的进一步推广 （1）依概率Cauchy序列 若对任意 \( \varepsilon > 0 \)，有 \[ \lim_ {m,n \to \infty} P\left( |X_ m - X_ n| \geq \varepsilon \right) = 0, \] 则称 \( \{X_ n\} \) 是依概率Cauchy序列。在完备的概率空间（如Lebesgue测度空间）中，依概率Cauchy序列必依概率收敛。 （2）与 \( L^p \) 收敛的关系 若 \( X_ n \xrightarrow{L^p} X \)（即 \( \mathbb{E}[ |X_ n - X|^p] \to 0 \)），则 \( X_ n \xrightarrow{P} X \)。反之不成立，但若附加一致可积性，依概率收敛可推出 \( L^1 \) 收敛。 6. 应用实例：大数定律 弱大数定律 ：设 \( \{X_ n\} \) 是独立同分布随机变量序列，\( \mathbb{E}[ X_ 1] = \mu \)，则样本均值 \( \bar{X} n = \frac{1}{n} \sum {k=1}^n X_ k \) 依概率收敛于 \( \mu \)。 证明要点 ：利用Chebyshev不等式（当方差存在时）或特征函数的收敛性（一般情形）。 总结 依概率收敛是连接测度论与概率论的重要概念，它弱于几乎处处收敛但强于依分布收敛。通过子列原理和连续映射定理，可灵活处理极限问题，并在大数定律等核心定理中起关键作用。