好的，我们开始学习一个新的词条。
复变函数的洛朗级数展开与孤立奇点
我们来详细讲解洛朗级数展开，这是分析复变函数在孤立奇点附近行为的核心工具。
第一步：从泰勒级数的局限性出发
- 回顾泰勒级数：对于一个在点 \(z_0\) 解析的函数 \(f(z)\)，我们可以在该点的一个邻域内将其展开为泰勒级数：
\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \]
其中系数 \(a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\)。这个级数只包含 \((z - z_0)\) 的非负幂次。
- 引入问题：如果函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 不解析（即 \(z_0\) 是函数的奇点），但在一个去心邻域 \(0 < |z - z_0| < R\) 内解析，泰勒级数就失效了，因为它要求在 \(z_0\) 本身解析。我们需要一个更强大的工具来描述函数在奇点附近的行为。
第二步：洛朗级数的定义与结构
- 核心思想：洛朗级数推广了泰勒级数，它允许展开式中包含 \((z - z_0)\) 的负幂次项。其一般形式为：
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \]
这个级数可以明确地拆分为两部分：
- 解析部分（主要部分）：\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\)。这部分在 \(z_0\) 处是正则的（或可解析开拓的）。
- 主要部分（奇异部分）：\(\sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z - z_0)^{-n}\)。这部分包含了负幂次项，直接反映了函数在 \(z_0\) 处的奇异性。
- 收敛区域：洛朗级数在一个环形区域（圆环）\(r < |z - z_0| < R\) 上收敛，其中 \(0 \le r < R \le \infty\)。这个圆环必须包含在函数解析的区域之内。特别地，当 \(r = 0\) 时，就是上面提到的去心邻域。
第三步：洛朗级数的系数公式与计算
- 系数公式：洛朗级数的系数 \(a_n\) 由以下积分公式给出：
\[ a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz \]
其中 \(C\) 是圆环 \(r < |z - z_0| < R\) 内任意一条围绕 \(z_0\) 的简单闭曲线（例如，一个圆周），且正向（逆时针方向）积分。
- 公式的理解：
- 这个公式是柯西积分公式的推广。当 \(n \ge 0\) 时，它与泰勒系数的积分表达式形式一致。
- 这个公式在理论上非常重要，它保证了洛朗展开的唯一性。但在实际计算中，我们很少直接使用这个积分去计算系数，而是更多地利用已知的泰勒展开式通过代数运算来间接求得。
第四步：洛朗级数与孤立奇点分类的关系
这是洛朗级数最重要的应用之一。根据洛朗级数主要部分（负幂次项部分）的情况，我们可以对孤立奇点进行精确分类：
- 可去奇点：如果洛朗级数的主要部分不存在（即所有负幂次项的系数 \(a_{-n} = 0, n \ge 1\)），则 \(z_0\) 称为可去奇点。
- 例子：\(f(z) = \frac{\sin z}{z}\) 在 \(z=0\) 处。其洛朗展开为 \(\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \cdots\)，没有负幂项。通过定义 \(f(0) = 1\)，函数在 \(z=0\) 就变得解析了。
- 极点：如果洛朗级数的主要部分只有有限项非零，即存在一个正整数 \(m\)，使得 \(a_{-m} \ne 0\)，但当 \(n > m\) 时 \(a_{-n} = 0\)，则 \(z_0\) 称为 \(m\) 阶极点。
- 例子：\(f(z) = \frac{1}{(z-1)^3(z+2)}\) 在 \(z=1\) 处是一个三阶极点。它的洛朗展开围绕 \(z=1\) 进行，主要部分的最高负幂是 \((z-1)^{-3}\)。
- 本性奇点：如果洛朗级数的主要部分有无限多项非零，则 \(z_0\) 称为本性奇点。
- 例子：\(f(z) = e^{1/z}\) 在 \(z=0\) 处。其洛朗展开为 \(e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{-n}\)，包含了无限多个负幂项。
第五步：实际计算洛朗级数的技巧
直接套用系数积分公式通常很繁琐。更实用的方法是：
- 利用已知的泰勒展开：将函数分解为若干部分，每一部分都利用已知的泰勒级数进行展开，然后进行组合。
- 几何级数求和：对于形如 \(\frac{1}{1 - w}\) 的项，当 \(|w| < 1\) 时，可以展开为几何级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} w^n\)。这是最常用的技巧。
举例说明：求函数 \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\) 在区域 \(0 < |z| < 1\) 内的洛朗级数。
- 步骤1：部分分式分解。
\[ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1} \]
- 步骤2：对每一项在指定区域进行展开。
- 第一项 \(-\frac{1}{z}\) 已经是 \(z\) 的负一次幂形式，无需进一步展开。
- 第二项 \(\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z}\)。在区域 \(0 < |z| < 1\) 内，有 \(|z| < 1\)，因此满足几何级数的收敛条件 \(|z| < 1\)：
\[ -\frac{1}{1-z} = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n \]
- 步骤3：合并结果。
\[ f(z) = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots \]
这就是 \(f(z)\) 在圆环 \(0 < |z| < 1\) 内的洛朗级数。我们可以看到，它有一个简单极点（一阶极点）在 \(z=0\)，因为主要部分只有一项 \(-1/z\)。