模的Hom函子 在代数中，模的Hom函子是从模范畴到交换环上的模范畴的重要构造，它描述了模之间的同态集合及其结构。我们逐步展开这一概念。 1. 模同态的基本定义 设 \( R \) 为交换环，\( M \) 和 \( N \) 为 \( R \)-模。一个 \( R \)-模同态 \( f: M \to N \) 是满足以下条件的映射： \( f(x + y) = f(x) + f(y) \)（加群同态） \( f(r \cdot x) = r \cdot f(x) \)（保持数乘） 所有从 \( M \) 到 \( N \) 的 \( R \)-模同态构成集合 \( \text{Hom}_ R(M, N) \)。 2. \(\text{Hom}_ R(M, N)\) 的模结构 当 \( R \) 为交换环时，\( \text{Hom}_ R(M, N) \) 可自然成为 \( R \)-模： 加法 ：对 \( f, g \in \text{Hom}_ R(M, N) \)，定义 \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \) 数乘 ：对 \( r \in R \)，定义 \( (r \cdot f)(x) = r \cdot f(x) \) 验证这些运算满足模公理（例如分配律）需用到 \( R \) 的交换性。 3. Hom函子的定义 固定一个 \( R \)-模 \( M \)，可定义两个函子： 协变Hom函子 \( \text{Hom}_ R(M, -) \)： 它将模 \( N \) 映为 \( \text{Hom} R(M, N) \)，将同态 \( \phi: N \to N' \) 映为推前映射 \( \phi * : f \mapsto \phi \circ f \)。 反变Hom函子 \( \text{Hom}_ R(-, N) \)： 它将模 \( M \) 映为 \( \text{Hom}_ R(M, N) \)，将同态 \( \psi: M \to M' \) 映为拉回映射 \( \psi^* : f \mapsto f \circ \psi \)。 4. 函子的性质 左正合性 ： 协变Hom函子 \( \text{Hom}_ R(M, -) \) 是左正合函子，即对任意短正合列 \[ 0 \to A \to B \to C \to 0, \] 诱导的序列 \[ 0 \to \text{Hom}_ R(M, A) \to \text{Hom}_ R(M, B) \to \text{Hom}_ R(M, C) \] 是正合的。类似地，反变Hom函子 \( \text{Hom}_ R(-, N) \) 也是左正合的（但方向相反）。 可表函子 ： Hom函子是 可表函子 的典型例子（由Yoneda引理），即其结构完全由某个对象（如 \( M \) 或 \( N \)）决定。 5. 应用：投射模与内射模 利用Hom函子的正合性可定义重要概念： 投射模 ：若 \( \text{Hom}_ R(M, -) \) 是正合函子（而不仅是左正合），则 \( M \) 是投射模。 内射模 ：若 \( \text{Hom}_ R(-, N) \) 是正合函子，则 \( N \) 是内射模。 这些性质与模的分解、同调维数等深层理论密切相关。 6. 张量-Hom伴随关系 Hom函子与张量积函子存在重要联系：对任意 \( R \)-模 \( M, N, P \)，有自然同构 \[ \text{Hom}_ R(M \otimes_ R N, P) \cong \text{Hom}_ R(M, \text{Hom}_ R(N, P)), \] 即张量积函子 \( -\otimes_ R N \) 是Hom函子 \( \text{Hom}_ R(N, -) \) 的左伴随。这一关系是范畴论中伴随函子的核心例子。 通过以上步骤，Hom函子从简单的同态集合出发，逐步展现出其丰富的代数结构、范畴性质及在模论中的核心作用。