圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续四十二）
本讲将深入探讨渐开线与渐伸线在曲率关系上的一个具体计算实例，通过参数方程直接计算两条曲线的曲率，并验证其互为倒数关系。
- 问题设定
设基圆半径为 \(R\)，其参数方程为 \(\mathbf{r}_0(\theta) = (R\cos\theta, R\sin\theta)\)。则基圆的渐开线方程为：
\[ \mathbf{r}_1(\theta) = \left( R(\cos\theta + \theta\sin\theta), R(\sin\theta - \theta\cos\theta) \right) \]
而此渐开线的渐屈线（即原基圆）的渐伸线方程为基圆本身：\(\mathbf{r}_0(\theta)\)。我们将计算 \(\mathbf{r}_1(\theta)\) 和 \(\mathbf{r}_0(\theta)\) 的曲率。
- 计算渐开线 \(\mathbf{r}_1(\theta)\) 的曲率
- 一阶导数：
\[ \mathbf{r}_1'(\theta) = \left( R(\theta\cos\theta), R(\theta\sin\theta) \right) = R\theta (\cos\theta, \sin\theta) \]
速度大小：
\[ v_1 = \|\mathbf{r}_1'(\theta)\| = R\theta \]
- 二阶导数：
\[ \mathbf{r}_1''(\theta) = R\left( \cos\theta - \theta\sin\theta, \sin\theta + \theta\cos\theta \right) \]
- 曲率公式（参数形式）：
\[ \kappa_1 = \frac{\|\mathbf{r}_1' \times \mathbf{r}_1''\|}{\|\mathbf{r}_1'\|^3} \]
在二维中，叉积大小为：
\[ \|\mathbf{r}_1' \times \mathbf{r}_1''\| = |x_1'y_1'' - y_1'x_1''| \]
代入计算：
\[ x_1' = R\theta\cos\theta, \quad y_1' = R\theta\sin\theta \]
\[ x_1'' = R(\cos\theta - \theta\sin\theta), \quad y_1'' = R(\sin\theta + \theta\cos\theta) \]
\[ \|\mathbf{r}_1' \times \mathbf{r}_1''\| = | (R\theta\cos\theta) \cdot R(\sin\theta + \theta\cos\theta) - (R\theta\sin\theta) \cdot R(\cos\theta - \theta\sin\theta) | \]
\[ = R^2\theta \left| \cos\theta\sin\theta + \theta\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \theta\sin^2\theta \right| = R^2\theta \cdot \theta = R^2\theta^2 \]
因此：
\[ \kappa_1 = \frac{R^2\theta^2}{(R\theta)^3} = \frac{1}{R\theta} \]
- 计算基圆 \(\mathbf{r}_0(\theta)\) 的曲率
- 一阶导数：
\[ \mathbf{r}_0'(\theta) = (-R\sin\theta, R\cos\theta), \quad v_0 = \|\mathbf{r}_0'\| = R \]
- 二阶导数：
\[ \mathbf{r}_0''(\theta) = (-R\cos\theta, -R\sin\theta) \]
- 曲率计算：
\[ \|\mathbf{r}_0' \times \mathbf{r}_0''\| = | (-R\sin\theta)(-R\sin\theta) - (R\cos\theta)(-R\cos\theta) | = R^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = R^2 \]
\[ \kappa_0 = \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R} \]
- 曲率关系验证
渐开线 \(\mathbf{r}_1\) 的曲率 \(\kappa_1 = \frac{1}{R\theta}\)，基圆 \(\mathbf{r}_0\) 的曲率 \(\kappa_0 = \frac{1}{R}\)。在渐开线与渐伸线的对应点（由参数 \(\theta\) 关联），两条曲线的曲率乘积为：
\[ \kappa_1 \cdot \kappa_0 = \frac{1}{R\theta} \cdot \frac{1}{R} = \frac{1}{R^2\theta} \]
注意：此结果并非常数，表明在任意对应点，两条曲线的曲率并不简单互为倒数。曲率互为倒数的性质通常指一条曲线与其渐屈线（曲率中心轨迹）的关系，而非渐开线与原基圆之间。本例验证了渐开线与基圆作为渐伸线-渐屈线对时，其曲率关系需通过更一般的微分几何框架（如渐屈线定义）来理解。