p-adic ζ函数 我们先从熟悉的黎曼ζ函数开始。黎曼ζ函数定义为对所有实部大于1的复数 s，有 ζ(s) = Σₙ₌₁∞ n⁻ˢ。它可以通过解析延拓扩展到整个复平面（除了 s=1 处有一个单极点）。ζ函数在数论中至关重要，因为它通过欧拉乘积公式与素数分布紧密相连：ζ(s) = Πₚ (1 - p⁻ˢ)⁻¹，其中 p 取遍所有素数。 现在，我们转向 p-adic 数。对于一个固定的素数 p，一个非零有理数 a 可以唯一地写成 a = pⁿ * (u/v)，其中 n 是某个整数，u 和 v 是与 p 互质的整数。a 的 p-adic 绝对值定义为 |a|_ p = p⁻ⁿ。直观上，一个数能被 p 的越高次幂整除，它的 p-adic “大小”就越小。有理数集 Q 按照这个绝对值 |·|_ p 进行完备化（即添加所有柯西序列的极限），就得到了 p-adic 数域 Q_ p。Q_ p 中的元素可以唯一地表示为形式为 Σₖ₌ₖ₀∞ aₖ pᵏ 的级数，其中每个 aₖ ∈ {0, 1, ..., p-1}，且 k₀ 是某个整数（可能为负）。 一个 p-adic 函数是定义在 Q_ p 的某个子集（例如整数环 Z_ p）上，且值在 Q_ p 中的函数。p-adic 分析的一个核心特征是“刚性”：一个函数的局部行为可以完全决定其全局行为。这与复分析非常不同。 我们的目标是构造一个 p-adic 版本的黎曼ζ函数。这面临着直接挑战，因为经典的级数定义 ζ(s) = Σ n⁻ˢ 在 p-adic 世界中无法直接使用，主要困难在于指数函数 s -> n⁻ˢ 在 p-adic 语境下没有良好的定义。 库默尔同余式为我们提供了关键线索。库默尔发现，对于负整数 s = 1-k（其中 k 是正偶数），ζ(1-k) 的值是有理数，并且这些值满足一系列深刻的对不同素数 p 取模的同余关系。更具体地说，如果两个偶数 k 和 k' 在模 (p-1) 的某个幂次下是“接近的”，那么 ζ(1-k) 和 ζ(1-k') 在模 p 的相应幂次下也是“接近的”。这表明，ζ 函数在负整数处的取值具有某种“p-adic 连续性”。 基于这个观察，马祖尔、柯尔金、库巴和莱波维茨等人在20世纪70年代构造了 p-adic ζ 函数 ζ_ p(s)。这个构造的精髓如下： 我们考虑一个特殊的点集：负整数，s = -m (m ≥ 0)。 在这些点上，我们通过一个巧妙的代数过程，用伯努利数来定义 ζ_ p 的值。具体地，ζ_ p(1-k) 被定义为某个与经典值 ζ(1-k) 密切相关的有理数（当 k ≥ 2 是偶数时）。 最关键的一步是，可以证明这样定义在负整数点集上的函数，是 p-adic 连续的（在适当的度量下）。由于负整数在 p-adic 整数环 Z_ p 中是稠密的，根据 p-adic 分析的刚性原理，存在唯一的连续函数 ζ_ p(s) 定义在整个 p-adic 整数环 Z_ p 上，其在负整数上的取值恰好就是我们刚才定义的那些值。 因此，p-adic ζ 函数 ζ_ p(s) 是一个 p-adic 连续函数，其定义域是 p-adic 整数环 Z_ p（可以想象成 p-adic 复平面上的一个“圆盘”），并且它在负整数 s = 1-k (k 为正偶数) 处与经典的黎曼ζ函数通过一个明确的因子相关联：ζ_ p(1-k) = (1 - pᵏ⁻¹) ζ(1-k)。 p-adic ζ 函数有许多非凡的性质。它满足它自己的 p-adic 函数方程。它的零点分布与 p-adic L 函数理论、Iwasawa 理论（研究数域的 p-adic 扩张的深刻理论）紧密相关。特别著名的是，它有一个（对 p 而言的）“平凡零点”在 s=1 处，而由伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的一个 p-adic 版本（马祖尔-泰特猜想，现已被证明）预测，其在奇数点 s=1,3,5,... 处的零点阶数与相应椭圆曲线或模形式定义的对象的 p-adic 性质有关。p-adic ζ 函数是连接经典解析数论和 p-adic 数论的一座重要桥梁。