广义函数空间上的傅里叶变换 我们先从经典的傅里叶变换开始。对于一个足够好的函数（例如，速降函数，即Schwartz空间中的函数），其傅里叶变换定义为： \( \hat{f}(\xi) = \int_ {\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx \). 这个变换具有许多优良的性质，例如它是Schwartz空间 \( \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \) 到自身的一个线性同构。 然而，这个经典定义要求函数在无穷远处衰减得足够快（即可积或平方可积），这限制了许多常见函数（如常数函数、指数函数等）的应用。为了克服这一限制，我们需要将傅里叶变换推广到更一般的函数，甚至是广义函数上。 广义函数（或分布）是定义在某个检验函数空间（如 \( C_ c^\infty(\mathbb{R}^n) \) 或 \( \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \)）上的连续线性泛函。缓增分布 \( \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) \) 是Schwartz空间 \( \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \) 的连续对偶空间，它包含了所有在无穷远处至多多项式增长的函数（或测度）。 缓增分布上的傅里叶变换是通过对偶性来定义的。具体来说，对于任意缓增分布 \( u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) \) 和任意检验函数 \( \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \)，我们定义其傅里叶变换 \( \hat{u} \) 为满足以下等式的唯一缓增分布： \( \langle \hat{u}, \phi \rangle = \langle u, \hat{\phi} \rangle \). 这里，\( \langle \cdot, \cdot \rangle \) 表示对偶配对，即分布作用于检验函数。这个定义是合理的，因为傅里叶变换在Schwartz空间上是自同构，所以 \( \hat{\phi} \) 仍然是一个速降函数。 这个定义是经典定义的直接推广。如果 \( u \) 本身就是一个可积函数（从而属于 \( \mathcal{S}' \)），那么根据经典理论和帕塞瓦尔定理，这个对偶定义与经典的积分定义是一致的。 缓增分布上的傅里叶变换继承了经典变换的许多重要性质，并且这些性质通常以分布意义下的形式成立。例如，它仍然是一个线性同构：\( \mathcal{F}: \mathcal{S}' \to \mathcal{S}' \) 是连续的双射，并且其逆变换由类似的对偶公式给出。微分性质也得以保留：傅里叶变换将微分运算（乘以多项式）转化为乘法运算（乘以多项式），反之亦然。具体地，\( \mathcal{F}(D^\alpha u) = (2\pi i \xi)^\alpha \mathcal{F}(u) \) 且 \( \mathcal{F}((-2\pi i x)^\beta u) = D^\beta \mathcal{F}(u) \)，其中 \( D \) 是分布意义下的导数。 卷积定理也可以推广到缓增分布的框架下，但需要满足一定的条件（例如，一个分布与一个速降函数卷积）。平移和调制的性质同样以分布的意义成立。 这个推广的意义非常深远。许多在经典意义下没有傅里叶变换的函数或广义函数，现在都有了良好的定义。例如，常数函数1的傅里叶变换是狄拉克δ函数；δ函数的傅里叶变换是常数函数1。多项式函数的傅里叶变换是δ函数及其导数的线性组合。指数函数 \( e^{2\pi i a x} \) 的傅里叶变换是平移后的δ函数 \( \delta(\xi - a) \)。这些结果在经典分析中是无法直接得到的，但在分布论中却变得自然且严格。 最终，通过将傅里叶变换推广到缓增分布上，我们得到了一个非常强大和统一的工具，它在线性偏微分方程理论、概率论和调和分析等领域中发挥着核心作用。