代数簇的Riemann-Roch定理 背景与动机 在代数几何中，研究代数簇上的向量丛（或更一般的凝聚层）时，一个重要问题是计算其截面的维度。Riemann-Roch定理提供了一种将拓扑不变量（如陈类）与解析不变量（如层上同调的欧拉示性数）关联的方法。最初，该定理描述紧黎曼曲面上的全纯线丛的截面维度，后来被推广到高维代数簇。 基本概念准备 代数簇 ：仿射或射影空间中多项式方程的零点集。 凝聚层 ：代数簇上满足有限性条件的层，例如向量丛对应的截面层。 陈类 ：向量丛的拓扑不变量，如零陈类 \( c_ 0 \) 为秩，一陈类 \( c_ 1 \) 与除子的度相关。 欧拉示性数 ：对层 \( \mathcal{F} \)，定义 \( \chi(\mathcal{F}) = \sum_ {i=0}^{\dim X} (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F}) \)，其中 \( H^i \) 为上同调群。 经典Riemann-Roch公式（曲线） 设 \( X \) 为光滑射影曲线（黎曼面），\( \mathcal{L} \) 为线丛（对应除子 \( D \)）。定理表述为： \[ \chi(\mathcal{L}) = \dim H^0(X, \mathcal{L}) - \dim H^1(X, \mathcal{L}) = \deg D + 1 - g, \] 其中 \( g \) 为 \( X \) 的亏格，\( \deg D \) 为除子的度。此公式将解析不变量（截面维度）与拓扑不变量（度、亏格）联系起来。 高维推广：Hirzebruch-Riemann-Roch定理 对 \( n \) 维光滑射影代数簇 \( X \) 和向量丛 \( \mathcal{E} \)，定理表示为： \[ \chi(\mathcal{E}) = \int_ X \operatorname{ch}(\mathcal{E}) \cdot \operatorname{td}(T_ X), \] 其中： \( \operatorname{ch}(\mathcal{E}) \) 为 \( \mathcal{E} \) 的陈特征，是陈类的形式幂级数。 \( \operatorname{td}(T_ X) \) 为切丛 \( T_ X \) 的Todd类，是特定多项式的陈类表达式。 积分表示在基本类上求值（即取最高维陈类的度数）。 该公式将欧拉示性数转化为可计算的拓扑量。 进一步抽象：Grothendieck-Riemann-Roch定理 考虑代数簇间的态射 \( f: X \to Y \)，定理比较 \( X \) 和 \( Y \) 上的层： \[ \operatorname{ch}(f_ ! \mathcal{E}) \cdot \operatorname{td}(T_ Y) = f_* \left( \operatorname{ch}(\mathcal{E}) \cdot \operatorname{td}(T_ X) \right), \] 其中 \( f_ ! \) 为层的前推（涉及高阶直接像），\( f_* \) 为周环的前推。此定理揭示了相对情形下拓扑不变量的函子性行为。 应用与意义 截面维度估计 ：通过计算陈类，可估计向量丛的全局截面数量。 奇点理论 ：结合奇点消解，研究非光滑簇的拓扑。 模空间理论 ：用于构造代数曲线的模空间或向量丛的模空间。 指标定理 ：在微分几何中，Atiyah-Singer指标定理可视为其推广。 Riemann-Roch定理通过连接代数、几何与拓扑，成为研究代数簇结构的重要工具。