哈尔测度的商群构造 我将为您讲解哈尔测度在商群上的构造方法，这是局部紧群上哈尔测度理论的重要延伸。 第一步：回顾哈尔测度的基本概念 哈尔测度是定义在局部紧群上的左不变（或右不变）的拉德on测度。对于群G，左哈尔测度满足μ(gE) = μ(E)对所有可测集E和g∈G成立。每个局部紧群都存在唯一的（在正数倍意义下）左哈尔测度。 第二步：商群与陪集空间 设G是局部紧群，H是G的闭正规子群。商群G/H由H的所有左陪集gH构成，配备商拓扑后成为局部紧豪斯多夫空间。陪集空间G/H上的博雷尔σ-代数由投影映射π: G→G/H诱导生成。 第三步：模函数与不变性关系 群G的模函数Δ_ G: G→(0,∞)是连续同态，满足dμ(gg') = Δ_ G(g)dμ(g')。当H是G的闭子群时，限制Δ_ G|_ H是H的模函数。若Δ_ G|_ H = Δ_ H，则称H是G的幺模子群，此时可在商空间上构造不变的哈尔测度。 第四步：商群上哈尔测度的构造定理 若H是G的闭幺模子群，则存在G/H上唯一的（在正数倍意义下）左哈尔测度ν，使得对任意f∈C_ c(G)（G上具有紧支撑的连续函数），有"积分交换公式"： ∫ G f(g)dμ_ G(g) = ∫ (G/H) [ ∫_ H f(gh)dμ_ H(h) ] dν(gH) 第五步：构造的具体实现 定义映射I: C_ c(G)→C_ c(G/H)为I(f)(gH) = ∫_ H f(gh)dμ_ H(h) 证明I是满射且保持正性 由里斯表示定理，存在G/H上的拉德on测度ν使得Λ(φ) = ∫_ (G/H) φ dν对所有φ∈C_ c(G/H)成立 验证ν在G/H的左平移作用下不变，从而是G/H的哈尔测度 第六步：应用与推广 此构造在数论（阿代尔环）、表示论（齐性空间）和几何（对称空间）中有重要应用。特别地，当G是半单李群时，其齐性空间G/K（K是极大紧子群）上可构造G不变的测度，这是调和分析的基础。