圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十九）
本讲将深入探讨渐开线与渐伸线在曲率关系上的一个具体应用：如何通过已知的渐伸线曲率，直接且精确地求解其对应渐开线的曲率，而无需重新参数化。
- 核心关系回顾
对于一条正则曲线 \(C\)（作为渐伸线的基曲线），其渐开线 \(I\) 由 \(C\) 的切线沿切向量方向“展开”得到。两者曲率 \(\kappa_C\) (基曲线曲率) 和 \(\kappa_I\) (渐开线曲率) 之间存在一个基本关系：
\[ \kappa_I = \frac{\kappa_C}{|1 - s \kappa_C|} \]
其中，\(s\) 是基曲线 \(C\) 从某起点开始的弧长参数。此关系是后续推导的基石。
- 关键参数：渐开线的弧长参数转换
直接应用上述公式时，公式中的 \(s\) 是基曲线 \(C\) 的弧长。然而，当我们研究渐开线 \(I\) 本身时，通常更关心在其自身弧长 \(s_I\) 下的几何性质。因此，需要一个将基曲线弧长 \(s\) 转换为渐开线弧长 \(s_I\) 的关系。
这个关系由下式给出：
\[ ds_I = |s \kappa_C| ds \]
该式表明，渐开线的弧长微元 \(ds_I\) 与基曲线的弧长微元 \(ds\) 之比，等于基曲线曲率半径 \(|1/\kappa_C|\) 与展开的切线长度 \(|s|\) 的某种关联的绝对值（更准确地说，是 \(|s \kappa_C|\)）。这是理解两者“展开”过程速度差异的关键。
- 曲率的确切推导过程
我们的目标是用基曲线的曲率 \(\kappa_C\) 和弧长 \(s\) 来精确表示渐开线的曲率 \(\kappa_I\)。
a. 渐开线的参数化： 设基曲线 \(C\) 由弧长 \(s\) 参数化，其单位切向量为 \(\mathbf{T}(s)\)，单位法向量为 \(\mathbf{N}(s)\)，曲率为 \(\kappa_C(s)\)。则其对应的渐开线 \(I\) 可参数化为：
\[ \mathbf{I}(s) = \mathbf{C}(s) + (c - s)\mathbf{T}(s) \]
其中 \(c\) 为常数。为简化，常取 \(c=0\)，则 \(\mathbf{I}(s) = \mathbf{C}(s) - s\mathbf{T}(s)\)。
b. 计算渐开线的一阶导数（关于s）：
\[ \frac{d\mathbf{I}}{ds} = \mathbf{T} - \mathbf{T} - s \kappa_C \mathbf{N} = -s \kappa_C \mathbf{N} \]
这里运用了弗雷内-塞雷公式 \(\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa_C \mathbf{N}\)。
c. 计算渐开线的速度大小（关于s）：
\[ \left\| \frac{d\mathbf{I}}{ds} \right\| = |s \kappa_C| \]
这验证了之前的弧长微元关系：\(ds_I = \left\| \frac{d\mathbf{I}}{ds} \right\| ds = |s \kappa_C| ds\)。
d. 计算渐开线的单位切向量 \(\mathbf{T_I}\)：
\[ \mathbf{T_I} = \frac{d\mathbf{I}/ds}{\|d\mathbf{I}/ds\|} = \frac{-s \kappa_C \mathbf{N}}{|s \kappa_C|} = -\text{sign}(s \kappa_C) \mathbf{N} \]
其中 \(\text{sign}\) 是符号函数。这表明渐开线的切向量与基曲线的法向量平行，方向取决于 \(s \kappa_C\) 的符号。
e. 计算渐开线的曲率向量（关于s_I）： 曲率向量定义为 \(\frac{d\mathbf{T_I}}{ds_I}\)。
首先计算关于 \(s\) 的导数：
\[ \frac{d\mathbf{T_I}}{ds} = -\text{sign}(s \kappa_C) \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\text{sign}(s \kappa_C) (-\kappa_C \mathbf{T}) = \text{sign}(s \kappa_C) \kappa_C \mathbf{T} \]
这里运用了弗雷内-塞雷公式 \(\frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa_C \mathbf{T}\)。
然后利用链式法则转换为关于 \(s_I\) 的导数：
\[ \frac{d\mathbf{T_I}}{ds_I} = \frac{d\mathbf{T_I}/ds}{ds_I/ds} = \frac{\text{sign}(s \kappa_C) \kappa_C \mathbf{T}}{|s \kappa_C|} = \frac{\kappa_C}{|s \kappa_C|} \text{sign}(s \kappa_C) \mathbf{T} = \frac{\kappa_C}{s \kappa_C} \mathbf{T} = \frac{1}{s} \mathbf{T} \]
（注意 \(\text{sign}(s \kappa_C) / |s \kappa_C| = 1/(s \kappa_C)\)）
f. 得到渐开线的曲率 \(\kappa_I\)： 曲率 \(\kappa_I\) 是曲率向量 \(\frac{d\mathbf{T_I}}{ds_I}\) 的模长。
\[ \kappa_I = \left\| \frac{d\mathbf{T_I}}{ds_I} \right\| = \left\| \frac{1}{s} \mathbf{T} \right\| = \frac{1}{|s|} \]
这个简洁的结果 \(\kappa_I = 1/|s|\) 是精确的。
- 结果分析与几何意义
最终推导出的关系 \(\kappa_I = 1/|s|\) 具有深刻的几何意义：
- 简洁性： 渐开线的曲率仅依赖于生成它的那条切线在基曲线上的“切点”所对应的基曲线弧长 \(s\)（从渐开线起点量起）。它与基曲线在该点的具体曲率 \(\kappa_C\) 的数值无关。
- 几何解释： \(|s|\) 的几何意义是，从渐开线的“起点”（对应基曲线弧长为0的点）到当前切点 \(\mathbf{C}(s)\) 的这段基曲线的切线长度。因此，渐开线的曲率半径 \(\rho_I = 1/\kappa_I = |s|\)，正好等于这段切线的长度。这意味着，渐开线上任一点的密切圆，其半径就是从该点回溯到渐开线起点的那段“展开”的切线长度。
- 与回顾公式的一致性： 将 \(\kappa_I = 1/|s|\) 代入最初回顾的关系式 \(\kappa_I = \frac{\kappa_C}{|1 - s \kappa_C|}\) 中，可以反解出 \(1 = \frac{s \kappa_C}{|1 - s \kappa_C|}\)，在 \(s \kappa_C < 1\) 的常见情况下（保证渐开线不产生奇点），可得 \(s \kappa_C = 1 - s \kappa_C\)，即 \(s \kappa_C = 1/2\)。这实际上是一个特例条件。更一般的，我们的直接推导 \(\kappa_I = 1/|s|\) 是普适的精确解，而回顾公式是定义关系，两者通过弧长参数转换联系起来。
通过以上步骤，我们完成了从基曲线弧长参数出发，精确推导其渐开线曲率的全过程，并阐释了其清晰的几何图像。