代数簇的仿射变换群 我将为您讲解代数几何中一个基础而重要的概念——仿射变换群。这个概念连接了代数簇的几何结构与群论，是研究代数簇对称性和分类的重要工具。 第一步：仿射空间的基本概念 仿射空间是向量空间的几何化表述。形式上，域k上的n维仿射空间𝔸ⁿ是点集kⁿ，但没有指定原点（即所有点平等）。在仿射空间中，我们只考虑保持共线关系的变换（即仿射变换），而不要求保持原点固定。 第二步：仿射变换的定义 仿射变换是仿射空间到自身的映射，由线性变换和平移组合而成。具体地，映射φ: 𝔸ⁿ → 𝔸ⁿ称为仿射变换，如果存在可逆n×n矩阵A（线性部分）和向量b ∈ kⁿ（平移部分），使得对任意x ∈ 𝔸ⁿ，有φ(x) = Ax + b。当b=0时，退化为线性变换。 第三步：仿射变换群的构成 所有仿射变换在映射复合下构成一个群，称为仿射变换群，记作Aff(n)或GA(n)。群运算为：(φ ∘ ψ)(x) = A_ φ(A_ ψx + b_ ψ) + b_ φ。单位元是恒等变换，逆变换为φ⁻¹(x) = A⁻¹(x - b)。这个群可表示为一般线性群GL(n)与平移群kⁿ的半直积：Aff(n) ≅ GL(n) ⋉ kⁿ。 第四步：仿射变换在代数簇上的作用 设X ⊆ 𝔸ⁿ是一个仿射代数簇（由多项式方程定义的零点集）。如果对仿射变换φ ∈ Aff(n)和任意x ∈ X，都有φ(x) ∈ X，则称φ保持X不变（即φ是X的自同构）。所有这样的仿射变换构成Aff(n)的子群，称为X的仿射自同构群，记作Aut_ {Aff}(X)。 第五步：仿射自同构群的性质 Aut_ {Aff}(X)是X的对称性的精确刻画。例如，若X是超曲面，其自同构群可能保持某些几何结构（如渐近方向、曲率性质）。该群在代数几何中的作用包括：分类代数簇（通过自同构群区分不同构的簇）、研究模空间（参数化簇的空间）、以及简化方程（通过自同构将簇化为标准型）。 第六步：计算实例 考虑仿射平面曲线X: y² = x³。其仿射自同构可写为φ(x,y) = (a₁₁x + a₁₂y + b₁, a₂₁x + a₂₂y + b₂)。代入方程后，利用多项式恒等关系可解出系数需满足a₁₁³ = 1, a₁₂ = 0, a₂₁ = 0, a₂₂² = a₁₁, 且b₂ = 0, b₁任意。这表明自同构群由伸缩和平移生成。 第七步：推广与相关概念 仿射变换群可推广到射影变换群（保持射影簇的变换），后者在射影几何中作用更大。此外，代数群理论将自同构群视为代数群，其李代数反映了簇的无穷小对称性。这一概念也与不变式理论密切相关，用于研究群作用下不变量构成的环。