随机规划中的序贯随机拟蒙特卡洛方法 基本概念与动机 在随机规划中，常需计算高维积分（如期望目标函数），例如形式为 \( \mathbb{E}[ F(x,\xi)] = \int_ {\Xi} F(x,\xi) \, dP(\xi) \)。传统蒙特卡洛（MC）方法通过随机样本逼近，但收敛速率仅为 \( O(1/\sqrt{N}) \)。拟蒙特卡洛（QMC）方法利用低差异序列（如Sobol序列）替代随机样本，使收敛速率接近 \( O((\log N)^d / N) \)，其中 \( d \) 为维度。然而，随机规划中决策变量 \( x \) 的迭代更新会导致积分域变化，需动态调整样本分布。序贯随机拟蒙特卡洛（Sequential Randomized QMC, SRQMC）结合了QMC的低差异性与重采样技术，适用于随机近似类算法（如随机梯度下降）的序贯决策过程。 低差异序列的随机化处理 纯QMC序列是确定性的，难以估计误差。SRQMC通过随机化（如随机移位、 scrambling技术）使序列在保留低差异性的同时具备均匀性，即每个随机化后的点仍服从均匀分布。例如，对Sobol序列施加随机移位 \( \tilde{u}_ i = u_ i + \Delta \mod 1 \)（\( \Delta \sim U[ 0,1 ]^d \)），生成多个独立随机化的QMC序列，从而支持统计误差评估。 序贯重要性采样与重加权 在迭代过程中，决策变量 \( x_ t \) 的更新会改变目标函数 \( F(x_ t, \xi) \) 的权重分布。SRQMC通过重要性采样调整样本权重：若第 \( t \) 步的样本 \( \{\xi_ i^{(t)}\} \) 来自提议分布 \( q_ t \)，则权重为 \( w_ i^{(t)} \propto dP(\xi)/q_ t(\xi) \)。为避免权重退化（部分样本权重趋近零），引入重采样步骤（如系统重采样），从 \( \{\xi_ i^{(t)}\} \) 中按权重比例抽取新样本集，重置权重为均匀值。 动态嵌入随机优化算法 以随机梯度下降为例，第 \( t \) 步的梯度估计为： \[ \hat{g} t = \frac{1}{N} \sum {i=1}^N w_ i^{(t)} \nabla_ x F(x_ t, \xi_ i^{(t)}). \] SRQMC在每一步生成随机化QMC样本，计算加权梯度后更新 \( x_ {t+1} = x_ t - \eta_ t \hat{g}_ t \)。由于QMC样本在维度间相关性更优，梯度估计的方差显著低于MC，加速收敛。 维度缩减与自适应策略 高维随机变量会削弱QMC优势。SRQMC常结合布朗桥、主成分分析等技术，将关键变量映射至低维空间。此外，可自适应调整提议分布 \( q_ t \) 使其接近当前决策 \( x_ t \) 下的重要区域（如方差缩减的控制变量法），进一步提升效率。 收敛性分析 在光滑性假设下，SRQMC的梯度估计误差界为 \( O((\log N)^d / N) \)，整体优化误差受步长 \( \eta_ t \) 与样本数 \( N \) 共同影响。通过动态平衡QMC样本数与优化迭代次数，可达到较纯MC更优的复杂度。