量子力学中的Sz.-Nagy膨胀定理 第一步：基本概念引入 在量子力学中，系统的时间演化通常由酉算子（unitary operator）描述，其保持内积不变。然而，实际建模中常遇到非酉算子（如压缩算子），这类算子可能表示耗散或受限演化。 Sz.-Nagy膨胀定理 的核心思想是：任何希尔伯特空间上的压缩算子（即满足 \(\|T\| \leq 1\) 的算子 \(T\)），均可通过嵌入到一个更大的希尔伯特空间，扩展为一个酉算子。这一过程称为 酉膨胀 ，其数学形式为： 存在一个更大的希尔伯特空间 \(\mathcal{K} \supset \mathcal{H}\) 和一个酉算子 \(U: \mathcal{K} \to \mathcal{K}\)，使得对任意 \(n \geq 0\)，有 \(T^n = P_ {\mathcal{H}} U^n \vert_ {\mathcal{H}}\)，其中 \(P_ {\mathcal{H}}\) 是 \(\mathcal{K}\) 到 \(\mathcal{H}\) 的投影。 第二步：压缩算子的物理背景 在量子系统中，压缩算子可能描述开放系统的动力学（如粒子与环境的相互作用）或受限演化（如有限区域内的散射）。例如，非酉演化可能源于概率不守恒的临时截断。Sz.-Nagy定理表明，此类系统可视为更大保守系统（酉演化）的子系统，这一思想与量子力学中的“纯化”概念紧密相关。 第三步：定理的构造性证明思路 酉膨胀的显式构造通过 最小膨胀空间 实现： 定义新空间 \(\mathcal{K} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} \oplus \cdots\)（直和序列），通过算子 \(T\) 的缺陷算子 \(D_ T = (I - T^* T)^{1/2}\) 生成。 构造酉算子 \(U\) 的分块矩阵形式： \[ U = \begin{pmatrix} T & D_ {T^ } \\ D_ T & -T^ \end{pmatrix}, \] 其中 \(D_ {T^ } = (I - TT^ )^{1/2}\)。此构造满足 \(T = P_ {\mathcal{H}} U \vert_ {\mathcal{H}}\)，且可递归扩展至任意幂次 \(n\)。 第四步：与量子动力学的联系 Sz.-Nagy定理为 量子马尔可夫半群 的Dilation理论奠定基础：若时间演化由压缩半群 \(\{T_ t\} {t \geq 0}\) 描述（如Lindblad方程的解），则该半群可膨胀为酉群 \(\{U_ t\} {t \in \mathbb{R}}\)，使得 \(T_ t = P_ {\mathcal{H}} U_ t \vert_ {\mathcal{H}}\)。这反映了物理系统的耗散本质可由更大封闭系统的酉演化导出。 第五步：应用示例——量子测量模型 在重复测量模型中，测量过程常由非酉算子 \(M\)（满足 \(\|M\| \leq 1\)）表示。通过Sz.-Nagy膨胀，可将 \(M\) 嵌入到包含仪器自由度的更大系统中，使得联合系统演化满足酉性。这一方法为量子测量公理提供数学支持，并用于研究退相干和量子轨迹理论。