排队网络 排队网络是运筹学中研究多个服务节点相互连接形成的系统，其中顾客在节点间按特定路由移动并接受服务。下面从基础概念逐步展开。 第一步：基本构成与记号 排队网络由若干服务节点（如柜台、服务器）构成，每个节点是一个独立的排队系统。关键参数包括： 到达过程 ：顾客进入网络的规律（如泊松到达）。 服务时间分布 ：每个节点的服务时长分布（如指数分布）。 节点数量 （m）：网络的规模。 路由矩阵 （P）：定义顾客从节点i完成后前往节点j的概率，其中P_ {ij} ≥ 0且每行和≤1（和 <1表示顾客可能离开系统）。 第二步：开放与封闭网络 开放网络 ：顾客从外部到达，最终以一定概率离开系统（如银行柜台队列）。 封闭网络 ：顾客数量固定，在节点间循环永不离开（如计算机系统中有限进程争用资源）。此时无外部到达或离开。 第三步：杰克逊网络（开放型） 杰克逊网络是经典模型，假设每个节点为M/M/1队列（泊松到达、指数服务、单服务器），且路由独立。关键定理： 分离性质 ：每个节点的队列长度独立分布。 稳态存在条件 ：每个节点的利用率ρ_ i = λ_ i / μ_ i < 1，其中λ_ i为节点i的有效到达率，由流量平衡方程给出： \[ λ_ i = α_ i + \sum_ {j=1}^m λ_ j P_ {ji} \] α_ i为外部到达率。解此线性方程组可得各节点负载。 第四步：乘积形式解 在稳态下，整个网络的状态（各节点队列长度向量）概率分布可分解为各节点边缘分布的乘积： \[ π(n_ 1, n_ 2, ..., n_ m) = \prod_ {i=1}^m π_ i(n_ i) \] 其中π_ i(n_ i)为节点i视为独立M/M/1队列的稳态分布。这一性质简化了性能指标计算（如平均队列长度、等待时间）。 第五步：性能指标计算 平均顾客数 （L）：利用M/M/1结论，L_ i = ρ_ i / (1 - ρ_ i)，系统总顾客数L = ∑L_ i。 平均等待时间 （W）：通过利特尔公式L = λW计算，其中λ为系统总外部到达率。 第六步：封闭网络与戈登-纽维尔定理 封闭网络假设顾客数N固定。戈登-纽维尔定理指出，稳态分布仍具乘积形式： \[ π(n_ 1, ..., n_ m) = \frac{1}{G(N)} \prod_ {i=1}^m f_ i(n_ i) \] 其中f_ i(n_ i) = (1/μ_ i)^{n_ i}，G(N)为归一化常数，需遍历所有满足∑n_ i = N的状态计算。此时需用卷积算法或均值分析高效求解。 第七步：复杂性与扩展 非指数分布 ：若服务时间非指数分布（如M/G/1节点），乘积形式不再成立，需依赖近似方法（扩散近似、分解技巧）。 阻塞现象 ：节点容量有限时，顾客可能因阻塞被拒绝或重路由，需用马尔可夫过程数值求解。 应用场景 ：计算机网络数据传输、制造系统工件流、医疗急诊部门流程优化。 通过以上步骤，排队网络从简单独立节点推广至复杂交互系统，为实际服务系统设计提供量化工具。