数值抛物型方程的紧致差分方法 紧致差分方法是一种高精度数值离散技术，特别适用于抛物型偏微分方程的求解。其核心思想是在更小的模板（通常只涉及相邻节点）上构造高阶精度的差分格式，从而在保证计算效率的同时减少数值误差。 1. 基础概念：抛物型方程与标准差分法 考虑模型问题：一维热传导方程 \( u_ t = \alpha u_ {xx} \)，其中 \( u_ t \) 是时间导数，\( u_ {xx} \) 是空间二阶导数，\( \alpha > 0 \) 为扩散系数。 标准二阶中心差分法：在均匀网格上，用 \( (u_ {i-1} - 2u_ i + u_ {i+1})/\Delta x^2 \) 近似 \( u_ {xx} \)，精度为 \( O(\Delta x^2) \)。若要提高精度，通常需扩大模板（如使用五点格式），但会增加计算量和边界处理的复杂性。 2. 紧致差分的基本原理 紧致格式通过同时离散函数值及其导数的线性组合，在紧凑模板上实现高阶精度。例如，对二阶导数 \( u_ {xx} \)，构造以下关系： \[ \beta u_ {xx}(x_ {i-1}) + u_ {xx}(x_ i) + \beta u_ {xx}(x_ {i+1}) = \frac{a u(x_ {i+1}) + b u(x_ i) + a u(x_ {i-1})}{\Delta x^2} \] 其中 \( \beta, a, b \) 为待定参数。通过泰勒展开匹配系数，可确定这些参数，使格式达到特定精度（如四阶或六阶）。 3. 具体构造步骤（以四阶紧致格式为例） 泰勒展开左右两边至 \( \Delta x^4 \) 项，令低阶项系数相等： 左端展开：\( (1+2\beta) u_ {xx} + \beta \Delta x^2 u_ {xxxx} + O(\Delta x^4) \) 右端展开：\( \frac{(2a+b) u + a \Delta x^2 u_ {xx} + \frac{a}{12} \Delta x^4 u_ {xxxx}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^4) \) 对比系数： \( u \) 项：\( 2a + b = 0 \) \( u_ {xx} \) 项：\( 1+2\beta = a \) \( u_ {xxxx} \) 项：\( \beta = \frac{a}{12} \) 解得 \( \beta = \frac{1}{10}, a = \frac{6}{5}, b = -\frac{12}{5} \)。最终格式为： \[ \frac{1}{10} u_ {xx}(x_ {i-1}) + u_ {xx}(x_ i) + \frac{1}{10} u_ {xx}(x_ {i+1}) = \frac{12}{10} \frac{u(x_ {i-1}) - 2u(x_ i) + u(x_ {i+1})}{\Delta x^2} \] 精度为 \( O(\Delta x^4) \)，但仅需三点模板。 4. 应用于抛物型方程的全离散化 对时间导数采用离散（如Crank-Nicolson格式），空间导数用紧致格式离散，得到线性方程组： \[ A U^{n+1} = B U^n \] 其中 \( A, B \) 为三对角矩阵（因紧致格式仅耦合相邻节点），可用高效算法（如Thomas算法）求解。 5. 优势与挑战 优势：模板小、边界易处理、高精度且数值耗散低。 挑战：需解线性方程组（但矩阵稀疏），系数需精确计算；非线性问题需迭代求解。 6. 扩展应用 可推广至二维/三维问题（通过方向离散或张量积）、变系数方程、以及结合自适应网格提升复杂区域的计算效率。