亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理的推导 好的，我们开始学习 亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 。这个定理是波动光学和声学中的基石，它将一个封闭曲面内的任意一点的波场，与波场在该曲面上的值及其法向导数联系起来。我们可以将其视为标量波动理论中的“高斯定理”。 第一步：理论基础——格林第二恒等式 任何积分定理的推导都始于一个坚实的数学基础。对于亥姆霍兹-基尔霍夫定理而言，这个基础是 格林第二恒等式 。 背景 ：假设我们有一个体积为 \( V \) 的空间区域，其边界是封闭曲面 \( S \)。在这个区域内，有两个函数 \( U(\mathbf{r}) \) 和 \( G(\mathbf{r}) \)（其中 \(\mathbf{r}\) 是位置矢量），它们都是连续可微的。 恒等式内容 ：格林第二恒等式指出： \[ \iiint_ V (U \, \nabla^2 G - G \, \nabla^2 U) \, dV = \oiint_ S (U \, \frac{\partial G}{\partial n} - G \, \frac{\partial U}{\partial n}) \, dS \] \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符。 \(\frac{\partial}{\partial n}\) 表示在曲面 \( S \) 上沿 外向法线 方向的方向导数。 \(\oiint_ S\) 表示对封闭曲面 \( S \) 的面积分。 直观理解 ：这个恒等式将一个体积分（与函数在体内的“源”或“涡旋”强度有关）转化为一个面积分（与函数在边界上的值有关）。它本身是数学上的一个精确关系，不依赖于任何物理规律。 第二步：引入物理背景——亥姆霍兹方程 现在，我们将物理代入这个数学框架。我们考虑的是单色（单一频率）的波。 亥姆霍兹方程 ：任何一个单频标量波（如特定频率的声波或光波），其复振幅 \( \psi(\mathbf{r}) \) 在无源区域都满足 亥姆霍兹方程 ： \[ (\nabla^2 + k^2) \psi(\mathbf{r}) = 0 \] 其中 \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) 是波数，\( \lambda \) 是波长。这个方程是从波动方程中通过分离时间变量得到的。 设定函数 ：在格林第二恒等式中，我们令： \( U(\mathbf{r}) = \psi(\mathbf{r}) \)，即我们感兴趣的波场。 \( G(\mathbf{r}) \) 是另一个待定的函数，我们称之为 格林函数 。它也将被选择为满足亥姆霍兹方程（或其某种形式）。 由于 \( \psi \) 和 \( G \) 都满足亥姆霍兹方程，我们有： \[ \nabla^2 \psi = -k^2 \psi \quad \text{和} \quad \nabla^2 G = -k^2 G \] 将这两个关系代入格林第二恒等式的左边： \[ \iiint_ V (U \, \nabla^2 G - G \, \nabla^2 U) \, dV = \iiint_ V (\psi (-k^2 G) - G (-k^2 \psi)) \, dV = \iiint_ V 0 \, dV = 0 \] 因此，恒等式的右边也必须为零： \[ \oiint_ S (\psi \, \frac{\partial G}{\partial n} - G \, \frac{\partial \psi}{\partial n}) \, dS = 0 \] 这个结果虽然正确，但它是平凡的（0=0），对我们求解波场没有直接帮助。我们需要一个更聪明的选择。 第三步：关键技巧——选择适当的格林函数 为了使格林第二恒等式变得有用，我们需要选择一个特殊的格林函数 \( G \)。这个选择是推导过程中的核心步骤。 选择自由空间格林函数 ：我们选择 \( G \) 为 三维自由空间的亥姆霍兹方程的基本解 ，也称为点源解： \[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \frac{e^{i k |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \] \(\mathbf{r}’\) 是源点的位置（即点源所在位置）。 \(\mathbf{r}\) 是场点的位置（我们想要计算波场的地方）。 这个函数描述了一个从点 \( \mathbf{r}’ \) 向外发散的球面波。 一个重要特性 ：这个函数 \( G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) \) 在除点 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}’ \) 之外的整个空间中都满足齐次亥姆霍兹方程 \( (\nabla^2 + k^2)G = 0 \)。然而，在 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}’ \) 这一点上，它有一个奇点（类似于静电学中点电荷的势场 \( 1/r \)）。 第四步：处理奇点——体积分的主值处理 由于我们选择的格林函数 \( G \) 在点 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}’ \) 处是奇异的，而我们的观察点 \( P \)（我们想知道波场 \(\psi\) 值的点）很可能就在体积 \( V \) 内部。我们不能直接应用格林第二恒等式，因为它在奇点处不成立。 处理方法 ：为了排除奇点，我们用一个非常小的、以点 \( P \) 为中心、半径为 \( \epsilon \) 的球面 \( S_ \epsilon \) 将点 \( P \) 从体积 \( V \) 中“挖去”。这样，我们得到一个新的体积 \( V’ \)，其边界是原曲面 \( S \) 和内部的小球面 \( S_ \epsilon \)。在 \( V’ \) 内，函数 \( G \) 不再有奇点。 应用格林恒等式 ：现在，我们在新体积 \( V’ \) 上应用格林第二恒等式。因为在整个 \( V’ \) 内 \( \nabla^2 \psi = -k^2 \psi \) 且 \( \nabla^2 G = -k^2 G \)（奇点已被排除），所以体积分依然为零： \[ 0 = \oiint_ {S + S_ \epsilon} (\psi \, \frac{\partial G}{\partial n} - G \, \frac{\partial \psi}{\partial n}) \, dS \] 注意，对于封闭曲面 \( S + S_ \epsilon \)，法向方向是 向外 的。对于外边界 \( S \)，外向法线 \( \mathbf{n} \) 是背离体积 \( V \) 的。对于内边界 \( S_ \epsilon \)，外向法线 \( \mathbf{n}_ \epsilon \) 是 指向球心 \( P \) 的，即指向 \( P \) 点，与从 \( P \) 点指向外的径向方向相反。 第五步：计算小球面 \( S_ \epsilon \) 上的积分并取极限 现在我们需要计算在小球面 \( S_ \epsilon \) 上的积分贡献，并让半径 \( \epsilon \) 趋近于零。 在 \( S_ \epsilon \) 上的表达式 ：在球面 \( S_ \epsilon \) 上，令 \( \mathbf{r}’ = P \)（观察点），\( \mathbf{r} \) 在 \( S_ \epsilon \) 上。那么： \( |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| = \epsilon \) \( G = \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon} \) 法向导数 \( \frac{\partial}{\partial n} \) 由于是外向法线（指向球心 \( P \)），所以等于 \( -\frac{\partial}{\partial r} \)（因为径向 \( r \) 是从球心向外的）。 \( \frac{\partial G}{\partial n} = -\frac{\partial G}{\partial r} = -\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{e^{i k r}}{r} \right) = -\left( \frac{i k e^{i k r}}{r} - \frac{e^{i k r}}{r^2} \right) \)。在 \( r = \epsilon \) 上，这等于 \( -\left( \frac{i k e^{i k \epsilon}}{\epsilon} - \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon^2} \right) \)。 代入积分 ：小球面 \( S_ \epsilon \) 上的积分变为： \[ I_ \epsilon = \oiint_ {S_ \epsilon} \left[ \psi \left( -\frac{i k e^{i k \epsilon}}{\epsilon} + \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon^2} \right) - \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon} \frac{\partial \psi}{\partial n} \right ] dS \] 在球面 \( S_ \epsilon \) 上，面积元 \( dS = \epsilon^2 \sin\theta d\theta d\phi \)。同时，我们假设波场 \( \psi \) 及其导数在 \( P \) 点是光滑的，因此当 \( \epsilon \to 0 \) 时，我们可以用 \( \psi(P) \) 和 \( \frac{\partial \psi}{\partial n}(P) \) 来近似 \( \psi \) 和 \( \frac{\partial \psi}{\partial n} \) 在 \( S_ \epsilon \) 上的值。 取极限 \( \epsilon \to 0 \) ： \[ \begin{aligned} \lim_ {\epsilon \to 0} I_ \epsilon &= \lim_ {\epsilon \to 0} \oiint_ {S_ \epsilon} \left[ -\psi(P) \frac{i k e^{i k \epsilon}}{\epsilon} \epsilon^2 d\Omega + \psi(P) \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon^2} \epsilon^2 d\Omega - \frac{e^{i k \epsilon}}{\epsilon} \frac{\partial \psi}{\partial n}(P) \epsilon^2 d\Omega \right ] \\ &= \lim_ {\epsilon \to 0} \oiint_ {S_ \epsilon} \left[ -\psi(P) i k e^{i k \epsilon} \epsilon \, d\Omega + \psi(P) e^{i k \epsilon} \, d\Omega - \frac{\partial \psi}{\partial n}(P) e^{i k \epsilon} \epsilon \, d\Omega \right ] \end{aligned} \] 其中 \( d\Omega = \sin\theta d\theta d\phi \) 是立体角元。对整个球面积分，\( \oiint d\Omega = 4\pi \)。 第一项和第三项都含有因子 \( \epsilon \)，当 \( \epsilon \to 0 \) 时，它们趋于零。 第二项：\( \lim_ {\epsilon \to 0} \psi(P) e^{i k \epsilon} (4\pi) = 4\pi \psi(P) \)。 因此，\( \lim_ {\epsilon \to 0} I_ \epsilon = 4\pi \psi(P) \)。 第六步：得出最终定理 将小球面积分的结果代回整个方程。我们有： \[ 0 = \oiint_ {S} (\psi \, \frac{\partial G}{\partial n} - G \, \frac{\partial \psi}{\partial n}) \, dS + \lim_ {\epsilon \to 0} I_ \epsilon \] \[ 0 = \oiint_ {S} (\psi \, \frac{\partial G}{\partial n} - G \, \frac{\partial \psi}{\partial n}) \, dS + 4\pi \psi(P) \] 重新整理，我们就得到了著名的 亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 ： \[ \psi(P) = \frac{1}{4\pi} \oiint_ {S} \left( G \, \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \, \frac{\partial G}{\partial n} \right) dS \] 其中 \( G(\mathbf{r}) = \frac{e^{i k |\mathbf{r} - \mathbf{r}_ P|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_ P|} \)，\( \mathbf{r} \) 是积分曲面 \( S \) 上的点，\( \mathbf{r}_ P \) 是点 \( P \) 的位置。 总结 ：这个定理表明，封闭曲面 \( S \) 内任意一点 \( P \) 的波场 \( \psi(P) \)，完全由波场 \( \psi \) 及其法向导数 \( \frac{\partial \psi}{\partial n} \) 在边界曲面 \( S \) 上的值唯一确定。它是求解衍射、散射等波动问题的基础。