量子力学中的Riesz投影 我们先从线性代数中的投影算子开始。在有限维希尔伯特空间中，一个投影算子 \( P \) 满足 \( P^2 = P \)。如果 \( P \) 还是自伴的（\( P^* = P \)），则称为正交投影。它的作用是将向量投影到某个子空间上。 在量子力学中，可观测量的谱理论至关重要。一个自伴算子的谱（特征值的集合）可能包含离散部分（孤立特征值）和连续部分。对于离散谱中的孤立特征值 \( \lambda \)，我们可以定义对应的谱投影 \( P_ \lambda \)，它将态矢量投影到对应于 \( \lambda \) 的特征空间上。 现在，我们进入复分析。假设 \( f(z) \) 是一个复平面上的解析函数，\( \gamma \) 是一条简单的闭合曲线（围道）。柯西积分公式告诉我们，如果一点 \( a \) 在 \( \gamma \) 的内部，那么 \( f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ \gamma \frac{f(z)}{z-a} dz \)。这个积分将函数在一点的值与它在一条曲线上的积分联系起来。 将这两个概念结合起来：考虑一个复巴拿赫空间（比如希尔伯特空间）上的有界算子 \( A \)。它的谱 \( \sigma(A) \) 是复平面上的一个紧集。假设 \( \sigma(A) \) 可以被一条简单的闭合可求长曲线 \( \Gamma \) 分割成两部分，其中一部分 \( \sigma_ 1 \) 在 \( \Gamma \) 的内部，是孤立的。我们可以定义一个新的算子 \( P_ {\Gamma} \) 如下： \[ P_ {\Gamma} = \frac{1}{2\pi i} \oint_ \Gamma (z I - A)^{-1} dz \] 这里，\( (z I - A)^{-1} \) 是预解式，它在 \( \Gamma \) 上（因为 \( \Gamma \) 不穿过谱）是解析的，所以积分是良定义的。这个算子 \( P_ {\Gamma} \) 就称为与围道 \( \Gamma \) 相关的 Riesz投影 。 Riesz投影具有以下关键性质： 幂等性 ：\( P_ {\Gamma}^2 = P_ {\Gamma} \)。这意味着它是一个投影算子。 不变子空间 ：\( P_ {\Gamma} \) 的值域 \( \text{Ran}(P_ {\Gamma}) \) 和零空间 \( \text{Ker}(P_ {\Gamma}) \) 都是算子 \( A \) 的不变子空间。即，\( A(\text{Ran}(P_ {\Gamma})) \subseteq \text{Ran}(P_ {\Gamma}) \)，\( A(\text{Ker}(P_ {\Gamma})) \subseteq \text{Ker}(P_ {\Gamma}) \)。 谱的分离 ：算子 \( A \) 限制在子空间 \( \text{Ran}(P_ {\Gamma}) \) 上的谱正好是 \( \sigma_ 1 \)（即 \( \Gamma \) 内部的谱），而限制在 \( \text{Ker}(P_ {\Gamma}) \) 上的谱是 \( \sigma(A) \setminus \sigma_ 1 \)（即 \( \Gamma \) 外部的谱）。 在量子力学中，当哈密顿量 \( H \) 是有界算子时，如果它的谱包含一个孤立的特征值（或一簇孤立的特征值），我们可以用一个小的围道 \( \Gamma \) 将这个特征值包围起来，而不包含谱的其他部分。这样定义的Riesz投影 \( P_ {\Gamma} \) 就是投影到该特征值对应的特征空间（或谱子空间）上的正交投影（因为 \( H \) 是自伴的，所以 \( P_ {\Gamma} \) 也是自伴的）。 Riesz投影的强大之处在于它同样适用于无界算子（如典型的薛定谔算子），只要围道 \( \Gamma \) 不穿过连续谱。在微扰理论中，当一个非简并特征值受到微小扰动时，我们可以用Riesz投影来研究扰动后特征值和特征空间的变化。通过分析Riesz投影在扰动下的行为，可以严格证明特征值的解析依赖性等性质。因此，Riesz投影是连接算子谱理论和复分析的一个基本而强大的数学工具。