极坐标中的圆锥曲线 我们先从极坐标的基本概念开始。极坐标系用一个距离和一个角度来确定点的位置：极点（原点 O）和极轴（通常为 x 轴的正半轴）。点 P 的位置由 (ρ, θ) 表示，其中 ρ 是从 O 到 P 的距离，θ 是从极轴到射线 OP 的角度。 现在，我们引入圆锥曲线的统一定义。一个圆锥曲线可以定义为到一个定点（焦点 F）和一条定直线（准线 L）的距离之比为常数 e（离心率）的点的轨迹。这个比值 e 决定了曲线的类型： 若 0 ≤ e < 1，轨迹为椭圆。 若 e = 1，轨迹为抛物线。 若 e > 1，轨迹为双曲线。 为了在极坐标中描述这个轨迹，我们将焦点 F 置于极点 O。设准线 L 垂直于极轴，且位于焦点的另一侧，其方程为 x = -d（d > 0）。根据定义，对于曲线上任意一点 P(ρ, θ)，其到焦点 F 的距离为 PF = ρ。点 P 到准线 L 的距离为 PQ = d + ρ cosθ（因为从 P 向准线作垂线，在极坐标下，水平距离为 ρ cosθ，而准线在 x = -d，所以总距离为 d + ρ cosθ）。 根据离心率定义：PF / PQ = e，即： ρ / (d + ρ cosθ) = e 接下来，我们解出 ρ。将方程两边同时乘以分母： ρ = e (d + ρ cosθ) ρ = e d + e ρ cosθ 将含有 ρ 的项移到一边： ρ - e ρ cosθ = e d ρ (1 - e cosθ) = e d 因此，我们得到极坐标方程： ρ = (e d) / (1 - e cosθ) 这个方程是圆锥曲线在极坐标下的标准形式之一。为了简化，常令 p = e d，它代表了半正焦弦（过焦点且垂直于长轴/对称轴的弦的一半）。所以最终方程为： ρ = p / (1 - e cosθ) 现在，我们根据离心率 e 的值来具体分析曲线的形状。 当 e = 1 时（抛物线）： 方程变为 ρ = p / (1 - cosθ)。当 θ 趋近于 0 或 2π 时，分母 1 - cosθ 趋近于 0，因此 ρ 趋近于无穷大，这符合抛物线开口向右无限延伸的特性。其顶点（离焦点最近的点）在 θ = π 时取得，此时 ρ = p / (1 - (-1)) = p/2。 当 0 ≤ e < 1 时（椭圆）： 由于分母 1 - e cosθ 总是大于 0（因为 |e cosθ| < 1），所以 ρ 始终为有限值。椭圆有两个焦点，我们这里将其中一个焦点置于极点。当 θ = 0 时，ρ = p / (1 - e)，这是椭圆上离右焦点最远的点（长轴的右端点）。当 θ = π 时，ρ = p / (1 + e)，这是椭圆上离右焦点最近的点（长轴的左端点）。椭圆的长轴 2a 等于这两个距离之和：2a = p/(1-e) + p/(1+e) = 2p / (1 - e²)，所以 a = p / (1 - e²)。 当 e > 1 时（双曲线）： 此时分母 1 - e cosθ 可能为 0，这对应于双曲线的渐近线方向。令 1 - e cosθ = 0，解得 cosθ = 1/e。由于 |1/e| < 1，所以存在两个角度 θ = ± arccos(1/e)，在这两个方向上 ρ 趋于无穷大。双曲线有两支，我们这个方程描述的是右支。当 θ = 0 时，ρ = p / (1 - e) < 0，在极坐标中，ρ < 0 表示点在极点的相反方向，这实际上对应着左支上的点（如果我们考虑 ρ 的绝对值）。更严谨的分析需要引入负 ρ 值的几何意义。