仿射代数簇的维数
字数 2781 2025-11-08 20:56:29

仿射代数簇的维数

我将从最基础的概念开始，逐步深入地讲解仿射代数簇的维数。

第一步：回顾核心定义——仿射代数簇与仿射坐标环

首先，我们需要明确两个基本对象：

  1. 仿射代数簇：设 \(K\) 是一个代数闭域（例如复数域 \(\mathbb{C}\)）。一个仿射代数簇 \(V\) 是仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) 的一个子集，它由一组多项式方程的解集定义。具体来说，给定一个多项式理想 \(I \subseteq K[x_1, \dots, x_n]\)，簇 \(V\) 定义为：

\[ V = V(I) = \{ (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{A}^n \mid f(a_1, \dots, a_n) = 0 \text{ 对所有 } f \in I \text{ 成立} \}. \]

  1. 仿射坐标环：簇 \(V\) 的仿射坐标环 \(K[V]\) 是多项式环 \(K[x_1, \dots, x_n]\) 模去定义理想 \(I\) 的商环，即 \(K[V] = K[x_1, \dots, x_n] / I(V)\)。这里 \(I(V)\) 是由所有在 \(V\) 上为零的多项式构成的理想（根据Hilbert零点定理，若 \(I\) 是根理想，则 \(I(V(I)) = I\)）。坐标环 \(K[V]\) 中的元素可以看作是 \(V\) 上的正则函数。

第二步：维数的直观几何意义

在几何上，一个代数簇的维数直观地描述了它的“自由度”或“独立参数”的个数。

  • 一个点的维数是 0。
  • 一条曲线（如圆、直线）的维数是 1。
  • 一个曲面（如球面、平面）的维数是 2。
  • 一个三维空间中的实体的维数是 3。
    对于更复杂的代数簇，我们需要一个严格且普适的代数定义来捕捉这种几何直觉。

第三步：维数的核心代数定义——通过坐标环的Krull维数

代数几何中，一个仿射代数簇 \(V\) 的维数被定义为其仿射坐标环 \(K[V]\) 的 Krull维数。

Krull维数的定义：一个交换环 \(R\) 的Krull维数是 \(R\) 中素理想链的最大长度。更精确地说，它是一个非负整数 \(d\)（或无穷大），使得存在一个长度为 \(d+1\) 的素理想严格递增链：

\[\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \dots \subsetneq \mathfrak{p}_d \]

其中每个 \(\mathfrak{p}_i\) 都是 \(R\) 的素理想。链的长度是指真包含关系 \(\subsetneq\) 的个数，即 \(d\)。

因此，仿射代数簇 \(V\) 的维数 定义为：

\[\dim V = \dim K[V] \]

其中右边的 \(\dim\) 表示环的Krull维数。

第四步：理解定义与几何的对应

为什么这个代数定义能反映几何维数？考虑仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) 本身。它的坐标环是多项式环 \(K[x_1, \dots, x_n]\)。这个环的一条典型的素理想链是：

\[(0) \subsetneq (x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq \dots \subsetneq (x_1, x_2, \dots, x_n) \]

这条链的长度是 \(n\)，对应着几何对象：

\[\mathbb{A}^n \supset V(x_1) \ (\text{一个超平面}) \supset V(x_1, x_2) \ (\text{一个余维2的平面}) \supset \dots \supset V(x_1, \dots, x_n) \ (\text{一个点}) \]

这恰好反映了 \(\mathbb{A}^n\) 的几何维数是 \(n\)。对于更一般的簇 \(V\)，其坐标环 \(K[V]\) 中的素理想对应于 \(V\) 中的不可约子簇。一条素理想链就对应着一串一个包含在另一个中的不可约子簇，链的长度反映了从点（或低维子簇）“生长”到整个簇 \(V\) 所需要的“步数”，这正是对维数的刻画。

第五步：维数的基本性质

基于Krull维数的定义，我们可以推导出仿射代数簇维数的一些重要性质：

  1. 单点性：一个点是有限个点构成的簇，其维数为 0。
  2. 不可约簇的维数：如果仿射簇 \(V\) 是不可约的（即不能表示为两个真闭子簇的并），那么它的维数等于其有理函数域 \(K(V)\)（即坐标环 \(K[V]\) 的分式域）在基域 \(K\) 上的超越次数。这提供了维数的另一个等价定义。
  3. 子簇的维数关系：如果 \(W\) 是仿射簇 \(V\) 的一个不可约闭子簇，那么 \(\dim W \leq \dim V\)。如果 \(W\) 是真子簇（即 \(W \subsetneq V\)），并且 \(V\) 是不可约的，那么 \(\dim W < \dim V\)。
  4. 维数与理想高度：如果簇 \(V\) 是由 \(r\) 个多项式方程定义的，那么 \(\dim V \geq n - r\)。如果这些方程是“性质良好”的（例如构成一个正则序列），那么等号成立，此时我们称 \(V\) 是一个完全交集。

第六步：计算示例

让我们计算一个简单例子的维数。

  • 簇：考虑由方程 \(xy - 1 = 0\) 在 \(\mathbb{A}^2\) 中定义的仿射代数簇 \(V\)（这是一条双曲线）。
  • 坐标环：\(K[V] = K[x, y] / (xy - 1)\)。
  • 分析Krull维数：环 \(K[V]\) 同构于局部化 \(K[x, x^{-1}]\)（因为 \(y = 1/x\)）。多项式环 \(K[x]\) 的Krull维数是1，而局部化（在乘法闭集上）不改变维数。因此，\(\dim K[V] = 1\)。
  • 结论：所以，簇 \(V\) 的维数是 1。这与我们的几何直观一致，因为 \(V\) 是一条曲线。

通过以上六个步骤，我们从仿射簇和坐标环的基本概念出发，逐步引入了Krull维数这一核心代数定义，解释了其几何意义，列举了关键性质，并进行了实际计算，从而系统地构建了关于仿射代数簇维数的知识体系。

仿射代数簇的维数 我将从最基础的概念开始，逐步深入地讲解仿射代数簇的维数。 第一步：回顾核心定义——仿射代数簇与仿射坐标环 首先，我们需要明确两个基本对象： 仿射代数簇 ：设 \( K \) 是一个代数闭域（例如复数域 \( \mathbb{C} \)）。一个仿射代数簇 \( V \) 是仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 的一个子集，它由一组多项式方程的解集定义。具体来说，给定一个多项式理想 \( I \subseteq K[ x_ 1, \dots, x_ n ] \)，簇 \( V \) 定义为： \[ V = V(I) = \{ (a_ 1, \dots, a_ n) \in \mathbb{A}^n \mid f(a_ 1, \dots, a_ n) = 0 \text{ 对所有 } f \in I \text{ 成立} \}. \] 仿射坐标环 ：簇 \( V \) 的仿射坐标环 \( K[ V] \) 是多项式环 \( K[ x_ 1, \dots, x_ n] \) 模去定义理想 \( I \) 的商环，即 \( K[ V] = K[ x_ 1, \dots, x_ n] / I(V) \)。这里 \( I(V) \) 是由所有在 \( V \) 上为零的多项式构成的理想（根据Hilbert零点定理，若 \( I \) 是根理想，则 \( I(V(I)) = I \)）。坐标环 \( K[ V ] \) 中的元素可以看作是 \( V \) 上的正则函数。 第二步：维数的直观几何意义 在几何上，一个代数簇的维数直观地描述了它的“自由度”或“独立参数”的个数。 一个点的维数是 0。 一条曲线（如圆、直线）的维数是 1。 一个曲面（如球面、平面）的维数是 2。 一个三维空间中的实体的维数是 3。 对于更复杂的代数簇，我们需要一个严格且普适的代数定义来捕捉这种几何直觉。 第三步：维数的核心代数定义——通过坐标环的Krull维数 代数几何中，一个仿射代数簇 \( V \) 的维数被定义为其仿射坐标环 \( K[ V] \) 的 Krull维数 。 Krull维数的定义 ：一个交换环 \( R \) 的Krull维数是 \( R \) 中素理想链的最大长度。更精确地说，它是一个非负整数 \( d \)（或无穷大），使得存在一个长度为 \( d+1 \) 的素理想严格递增链： \[ \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \dots \subsetneq \mathfrak{p}_ d \] 其中每个 \( \mathfrak{p}_ i \) 都是 \( R \) 的素理想。链的长度是指真包含关系 \( \subsetneq \) 的个数，即 \( d \)。 因此， 仿射代数簇 \( V \) 的维数 定义为： \[ \dim V = \dim K[ V ] \] 其中右边的 \( \dim \) 表示环的Krull维数。 第四步：理解定义与几何的对应 为什么这个代数定义能反映几何维数？考虑仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 本身。它的坐标环是多项式环 \( K[ x_ 1, \dots, x_ n ] \)。这个环的一条典型的素理想链是： \[ (0) \subsetneq (x_ 1) \subsetneq (x_ 1, x_ 2) \subsetneq \dots \subsetneq (x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) \] 这条链的长度是 \( n \)，对应着几何对象： \[ \mathbb{A}^n \supset V(x_ 1) \ (\text{一个超平面}) \supset V(x_ 1, x_ 2) \ (\text{一个余维2的平面}) \supset \dots \supset V(x_ 1, \dots, x_ n) \ (\text{一个点}) \] 这恰好反映了 \( \mathbb{A}^n \) 的几何维数是 \( n \)。对于更一般的簇 \( V \)，其坐标环 \( K[ V ] \) 中的素理想对应于 \( V \) 中的不可约子簇。一条素理想链就对应着一串一个包含在另一个中的不可约子簇，链的长度反映了从点（或低维子簇）“生长”到整个簇 \( V \) 所需要的“步数”，这正是对维数的刻画。 第五步：维数的基本性质 基于Krull维数的定义，我们可以推导出仿射代数簇维数的一些重要性质： 单点性 ：一个点是有限个点构成的簇，其维数为 0。 不可约簇的维数 ：如果仿射簇 \( V \) 是不可约的（即不能表示为两个真闭子簇的并），那么它的维数等于其有理函数域 \( K(V) \)（即坐标环 \( K[ V ] \) 的分式域）在基域 \( K \) 上的超越次数。这提供了维数的另一个等价定义。 子簇的维数关系 ：如果 \( W \) 是仿射簇 \( V \) 的一个不可约闭子簇，那么 \( \dim W \leq \dim V \)。如果 \( W \) 是真子簇（即 \( W \subsetneq V \)），并且 \( V \) 是不可约的，那么 \( \dim W < \dim V \)。 维数与理想高度 ：如果簇 \( V \) 是由 \( r \) 个多项式方程定义的，那么 \( \dim V \geq n - r \)。如果这些方程是“性质良好”的（例如构成一个正则序列），那么等号成立，此时我们称 \( V \) 是一个 完全交集 。 第六步：计算示例 让我们计算一个简单例子的维数。 簇 ：考虑由方程 \( xy - 1 = 0 \) 在 \( \mathbb{A}^2 \) 中定义的仿射代数簇 \( V \)（这是一条双曲线）。 坐标环 ：\( K[ V] = K[ x, y ] / (xy - 1) \)。 分析Krull维数 ：环 \( K[ V] \) 同构于局部化 \( K[ x, x^{-1}] \)（因为 \( y = 1/x \)）。多项式环 \( K[ x] \) 的Krull维数是1，而局部化（在乘法闭集上）不改变维数。因此，\( \dim K[ V ] = 1 \)。 结论 ：所以，簇 \( V \) 的维数是 1。这与我们的几何直观一致，因为 \( V \) 是一条曲线。 通过以上六个步骤，我们从仿射簇和坐标环的基本概念出发，逐步引入了Krull维数这一核心代数定义，解释了其几何意义，列举了关键性质，并进行了实际计算，从而系统地构建了关于仿射代数簇维数的知识体系。