模的合成列与Jordan-Hölder定理 模的合成列 设 \( M \) 是一个模（例如向量空间或群表示的推广）。一个 合成列 是 \( M \) 的一个子模链： \[ 0 = M_ 0 \subset M_ 1 \subset \cdots \subset M_ n = M, \] 其中每个商模 \( M_ i / M_ {i-1} \) 是 单模 （即没有非平凡真子模）。这些单商模称为合成列的 合成因子 。合成列的长度 \( n \) 反映了模的结构复杂度。 单模的例子 对于向量空间（域上的模），单模即一维子空间，因为任何非零向量生成的子空间没有更小的非平凡子空间。 对于整数模 \( \mathbb{Z} \)-模（即阿贝尔群），单模是素数阶循环群 \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)，因为其子群只有平凡群和自身。 Jordan-Hölder定理的核心思想 若一个模有合成列，则任意两个合成列的 合成因子集合（含重数）在同构意义下唯一 。例如，若一个模的合成因子为 \( \{S_ 1, S_ 2, S_ 3\} \)，则无论如何构造合成列，其单商模的同构类及出现次数均相同。 定理的证明思路 使用 Zassenhaus引理 （蝴蝶引理）比较两个子模链，通过插入中间模使它们细化。 证明细化后的链有同构的商模序列，从而推导出合成因子的唯一性。 应用示例：有限群的复合列 将群视为 \( \mathbb{Z} \)-模，Jordan-Hölder定理说明有限群的复合因子（单商群）唯一。例如，循环群 \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) 的复合因子为 \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) 和 \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)，与分解顺序无关。 与其他理论的联系 合成因子可视为模的“不可约分量”，类比整数素因子分解或矩阵若尔当标准型的不变因子。 在表示论中，合成列对应不可约表示的分解，Jordan-Hölder定理保证特征标计算的确定性。