圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十八）

字数 4940 2025-11-08 10:03:07

圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十八）

本次讲解将深入探讨渐开线与渐伸线在非均匀展开速度下的微分几何关系，即当缠绕在基圆上的细绳被以变化的速率拉开时，其端点的轨迹（渐开线）与瞬时曲率中心轨迹（渐伸线）的广义对应关系。

基础概念回顾与问题引入
- 在标准定义中，渐开线是由一条紧绕在基圆上的细绳以恒定速率展开时，其端点的轨迹。此时，渐伸线（即曲率中心的轨迹）恰好是原基圆。

现在，我们推广这一模型：细绳的展开速率不再恒定。例如，细绳可能被一个变速马达拉动。这意味着，在时间 \(t\) 时，细绳被拉出的长度 \(s(t)\) 是一个关于时间的函数，其变化率 \(v(t) = ds/dt\) 不是常数。我们将研究在此非均匀展开条件下，生成的曲线（广义渐开线）与其渐伸线之间的关系。

参数化广义渐开线

设基圆半径为 \(R\)，圆心在原点 \(O\)。
设细绳初始时在点 \(A_0\) 与圆相切。随着细绳展开，切点沿圆周移动到点 \(A(t)\)。
关键量是展开的弧长 \(s(t)\)。由于展开速率非均匀，切点 \(A(t)\) 对应的圆心角 \(\theta(t)\) 满足 \(s(t) = R \theta(t)\)。
在时刻 \(t\)，细绳的端点 \(P(t)\) 的位置向量为：
\(\vec{OP}(t) = \vec{OA}(t) + \vec{A P}(t)\)。
\(\vec{OA}(t) = (R\cos\theta(t), R\sin\theta(t))\)。
由于细绳始终与圆相切于点 \(A(t)\)，向量 \(\vec{A P}(t)\) 的方向与点 \(A(t)\) 处的切线方向相同，长度为 \(s(t)\)。点 \(A(t)\) 处的单位切向量为 \((-\sin\theta(t), \cos\theta(t))\)。
- 因此，广义渐开线的参数方程为：
  \(\vec{r}(t) = (R\cos\theta(t) + s(t)(-\sin\theta(t)),\ R\sin\theta(t) + s(t)(\cos\theta(t)))\)，
  其中 \(s(t) = R \theta(t)\)。为简化，我们直接用 \(\theta\) 作为参数（因为 \(s\) 和 \(\theta\) 一一对应），方程写为：
  \(\vec{r}(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta)\)。
  注意：此处的 \(\theta\) 已不再是匀速变化的参数，它隐含了时间 \(t\) 的关系。\(\theta(t)\) 的变化率 \(d\theta/dt\) 由 \(s(t)\) 的变化率决定。但在纯几何描述中，我们关注的是曲线形状与 \(\theta\) 的关系。

计算广义渐开线的曲率中心（广义渐屈线）

曲率中心是曲线在该点处密切圆的圆心。我们需要找到广义渐开线在参数 \(\theta\) 处的曲率中心 \(C(\theta)\)。
- 首先计算一阶导数（速度向量）：
  \(\vec{r}'(\theta) = \frac{d\vec{r}}{d\theta} = (-R\sin\theta - R\sin\theta - R\theta\cos\theta,\ R\cos\theta + R\cos\theta - R\theta\sin\theta) = (-2R\sin\theta - R\theta\cos\theta,\ 2R\cos\theta - R\theta\sin\theta)\)。
- 速度大小为：
  \(v = \|\vec{r}'(\theta)\| = R\sqrt{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta)^2 + (2\cos\theta - \theta\sin\theta)^2} = R\sqrt{4(\sin^2\theta+\cos^2\theta) + \theta^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} = R\sqrt{4 + \theta^2}\)。
单位切向量 \(\vec{T} = \frac{\vec{r}'(\theta)}{\|\vec{r}'(\theta)\|} = \frac{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta,\ 2\cos\theta - \theta\sin\theta)}{\sqrt{4 + \theta^2}}\)。
计算 \(\vec{T}\) 对弧长 \(s\) 的导数以获得曲率向量。\(d\vec{T}/ds = (d\vec{T}/d\theta) / (ds/d\theta)\)。
\(ds/d\theta = v = R\sqrt{4 + \theta^2}\)。
\(d\vec{T}/d\theta = \frac{d}{d\theta} \left( \frac{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta,\ 2\cos\theta - \theta\sin\theta)}{\sqrt{4 + \theta^2}} \right)\)。
利用商法则，计算可得（过程略）：
\(\frac{d\vec{T}}{d\theta} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{(4+\theta^2)^{3/2}}\)。
因此，\(\frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}/d\theta}{ds/d\theta} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{(4+\theta^2)^{3/2} \cdot R\sqrt{4+\theta^2}} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{R(4+\theta^2)^2}\)。
曲率 \(\kappa = \| d\vec{T}/ds \| = \frac{\sqrt{((4+\theta^2)\cos\theta - \theta\sin\theta)^2 + ((4+\theta^2)\sin\theta + \theta\cos\theta)^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{(4+\theta^2)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + \theta^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{(4+\theta^2)^2 + \theta^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{16 + 8\theta^2 + \theta^4 + \theta^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}}{R(4+\theta^2)^2}\)。
曲率中心 \(C(\theta) = \vec{r}(\theta) + \frac{1}{\kappa} \vec{N}\)，其中 \(\vec{N}\) 是单位主法向量。由于 \(d\vec{T}/ds = \kappa \vec{N}\)，所以 \(\vec{N} = \frac{(d\vec{T}/ds)}{\kappa}\)。
将 \(d\vec{T}/ds\) 和 \(\kappa\) 代入：
\(\vec{N} = \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) / [R(4+\theta^2)^2] }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} / [R(4+\theta^2)^2] } = \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} }\)。
因此，曲率半径 \(\rho = 1/\kappa = \frac{R(4+\theta^2)^2}{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}}\)。
* 曲率中心坐标为：
\(C(\theta) = \vec{r}(\theta) + \rho \vec{N} = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) + \frac{R(4+\theta^2)^2}{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}} \cdot \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} }\)。
\(C(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) + \frac{R(4+\theta^2)^2}{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} ( -(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)\)。
这个表达式表明，在非均匀展开（即 \(\theta\) 作为一般参数）下，广义渐开线的曲率中心轨迹（广义渐屈线）不再是一个简单的圆，而是一条与展开过程（即 \(s(t)\) 或 \(\theta(t)\) 的函数形式）相关的复杂曲线。

关系总结与几何意义

当展开速度均匀时（\(\theta\) 是时间 \(t\) 的线性函数），我们之前推导出渐屈线是基圆本身。这是一种特例。
当展开速度非均匀时，广义渐开线的形状虽然仍由 \(\vec{r}(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta)\) 描述，但其内在的几何参数（如弧长、曲率）依赖于参数 \(\theta\) 的选择。其渐屈线变得复杂，不再固定于基圆。
- 这揭示了渐开线与渐伸线关系的深层内涵：渐伸线不仅是原曲线的曲率中心轨迹，也编码了原曲线被“展开”或“生成”的动力学信息。当生成过程（展开速度）改变时，其渐屈线也随之改变，反映了生成动力学对曲线局部几何性质（曲率）的影响。

圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十八）本次讲解将深入探讨渐开线与渐伸线在非均匀展开速度下的微分几何关系，即当缠绕在基圆上的细绳被以变化的速率拉开时，其端点的轨迹（渐开线）与瞬时曲率中心轨迹（渐伸线）的广义对应关系。基础概念回顾与问题引入在标准定义中，渐开线是由一条紧绕在基圆上的细绳以恒定速率展开时，其端点的轨迹。此时，渐伸线（即曲率中心的轨迹）恰好是原基圆。现在，我们推广这一模型：细绳的展开速率不再恒定。例如，细绳可能被一个变速马达拉动。这意味着，在时间 \( t \) 时，细绳被拉出的长度 \( s(t) \) 是一个关于时间的函数，其变化率 \( v(t) = ds/dt \) 不是常数。我们将研究在此非均匀展开条件下，生成的曲线（广义渐开线）与其渐伸线之间的关系。参数化广义渐开线设基圆半径为 \( R \)，圆心在原点 \( O \)。设细绳初始时在点 \( A_ 0 \) 与圆相切。随着细绳展开，切点沿圆周移动到点 \( A(t) \)。关键量是展开的弧长 \( s(t) \)。由于展开速率非均匀，切点 \( A(t) \) 对应的圆心角 \( \theta(t) \) 满足 \( s(t) = R \theta(t) \)。在时刻 \( t \)，细绳的端点 \( P(t) \) 的位置向量为： \( \vec{OP}(t) = \vec{OA}(t) + \vec{A P}(t) \)。 \( \vec{OA}(t) = (R\cos\theta(t), R\sin\theta(t)) \)。由于细绳始终与圆相切于点 \( A(t) \)，向量 \( \vec{A P}(t) \) 的方向与点 \( A(t) \) 处的切线方向相同，长度为 \( s(t) \)。点 \( A(t) \) 处的单位切向量为 \( (-\sin\theta(t), \cos\theta(t)) \)。因此，广义渐开线的参数方程为： \( \vec{r}(t) = (R\cos\theta(t) + s(t)(-\sin\theta(t)),\ R\sin\theta(t) + s(t)(\cos\theta(t))) \)，其中 \( s(t) = R \theta(t) \)。为简化，我们直接用 \( \theta \) 作为参数（因为 \( s \) 和 \( \theta \) 一一对应），方程写为： \( \vec{r}(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) \)。注意：此处的 \( \theta \) 已不再是匀速变化的参数，它隐含了时间 \( t \) 的关系。\( \theta(t) \) 的变化率 \( d\theta/dt \) 由 \( s(t) \) 的变化率决定。但在纯几何描述中，我们关注的是曲线形状与 \( \theta \) 的关系。计算广义渐开线的曲率中心（广义渐屈线）曲率中心是曲线在该点处密切圆的圆心。我们需要找到广义渐开线在参数 \( \theta \) 处的曲率中心 \( C(\theta) \)。首先计算一阶导数（速度向量）： \( \vec{r}'(\theta) = \frac{d\vec{r}}{d\theta} = (-R\sin\theta - R\sin\theta - R\theta\cos\theta,\ R\cos\theta + R\cos\theta - R\theta\sin\theta) = (-2R\sin\theta - R\theta\cos\theta,\ 2R\cos\theta - R\theta\sin\theta) \)。速度大小为： \( v = \|\vec{r}'(\theta)\| = R\sqrt{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta)^2 + (2\cos\theta - \theta\sin\theta)^2} = R\sqrt{4(\sin^2\theta+\cos^2\theta) + \theta^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} = R\sqrt{4 + \theta^2} \)。单位切向量 \( \vec{T} = \frac{\vec{r}'(\theta)}{\|\vec{r}'(\theta)\|} = \frac{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta,\ 2\cos\theta - \theta\sin\theta)}{\sqrt{4 + \theta^2}} \)。计算 \( \vec{T} \) 对弧长 \( s \) 的导数以获得曲率向量。\( d\vec{T}/ds = (d\vec{T}/d\theta) / (ds/d\theta) \)。 \( ds/d\theta = v = R\sqrt{4 + \theta^2} \)。 \( d\vec{T}/d\theta = \frac{d}{d\theta} \left( \frac{(-2\sin\theta - \theta\cos\theta,\ 2\cos\theta - \theta\sin\theta)}{\sqrt{4 + \theta^2}} \right) \)。利用商法则，计算可得（过程略）： \( \frac{d\vec{T}}{d\theta} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{(4+\theta^2)^{3/2}} \)。因此，\( \frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}/d\theta}{ds/d\theta} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{(4+\theta^2)^{3/2} \cdot R\sqrt{4+\theta^2}} = \frac{(-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta)}{R(4+\theta^2)^2} \)。曲率 \( \kappa = \| d\vec{T}/ds \| = \frac{\sqrt{((4+\theta^2)\cos\theta - \theta\sin\theta)^2 + ((4+\theta^2)\sin\theta + \theta\cos\theta)^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{(4+\theta^2)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + \theta^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{(4+\theta^2)^2 + \theta^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{16 + 8\theta^2 + \theta^4 + \theta^2}}{R(4+\theta^2)^2} = \frac{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}}{R(4+\theta^2)^2} \)。曲率中心 \( C(\theta) = \vec{r}(\theta) + \frac{1}{\kappa} \vec{N} \)，其中 \( \vec{N} \) 是单位主法向量。由于 \( d\vec{T}/ds = \kappa \vec{N} \)，所以 \( \vec{N} = \frac{(d\vec{T}/ds)}{\kappa} \)。将 \( d\vec{T}/ds \) 和 \( \kappa \) 代入： \( \vec{N} = \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) / [ R(4+\theta^2)^2] }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} / [ R(4+\theta^2)^2 ] } = \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} } \)。因此，曲率半径 \( \rho = 1/\kappa = \frac{R(4+\theta^2)^2}{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}} \)。曲率中心坐标为： \( C(\theta) = \vec{r}(\theta) + \rho \vec{N} = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) + \frac{R(4+\theta^2)^2}{\sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16}} \cdot \frac{ (-(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) }{ \sqrt{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} } \)。 \( C(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) + \frac{R(4+\theta^2)^2}{\theta^4 + 9\theta^2 + 16} ( -(4+\theta^2)\cos\theta + \theta\sin\theta,\ -(4+\theta^2)\sin\theta - \theta\cos\theta) \)。这个表达式表明，在非均匀展开（即 \( \theta \) 作为一般参数）下，广义渐开线的曲率中心轨迹（广义渐屈线）不再是一个简单的圆，而是一条与展开过程（即 \( s(t) \) 或 \( \theta(t) \) 的函数形式）相关的复杂曲线。关系总结与几何意义当展开速度均匀时（\( \theta \) 是时间 \( t \) 的线性函数），我们之前推导出渐屈线是基圆本身。这是一种特例。当展开速度非均匀时，广义渐开线的形状虽然仍由 \( \vec{r}(\theta) = (R\cos\theta - R\theta\sin\theta,\ R\sin\theta + R\theta\cos\theta) \) 描述，但其内在的几何参数（如弧长、曲率）依赖于参数 \( \theta \) 的选择。其渐屈线变得复杂，不再固定于基圆。这揭示了渐开线与渐伸线关系的深层内涵：渐伸线不仅是原曲线的曲率中心轨迹，也编码了原曲线被“展开”或“生成”的动力学信息。当生成过程（展开速度）改变时，其渐屈线也随之改变，反映了生成动力学对曲线局部几何性质（曲率）的影响。