分析学词条：费耶尔定理
费耶尔定理是傅里叶分析中的一项重要结果，它解决了傅里叶级数的收敛性问题。为了更好地理解这个定理，我们需要从傅里叶级数的基本概念出发，逐步引入相关定义和定理，最终阐明费耶尔定理的内容和意义。
1. 傅里叶级数的回顾
- 傅里叶级数是将周期函数展开为正弦和余弦函数的无穷级数。对于周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f(x)\)，其傅里叶级数为：
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), \]
其中系数 \(a_n\) 和 \(b_n\) 由积分公式给出。
- 一个重要的问题是：傅里叶级数是否收敛到原函数？狄利克雷条件指出，若 \(f(x)\) 满足一定光滑性条件（如分段连续、有限个极值点），则傅里叶级数在连续点收敛于 \(f(x)\)。但在不连续点可能发散（如吉布斯现象）。
2. 部分和与收敛困难
- 傅里叶级数的第 \(N\) 项部分和记为 \(S_N(f; x)\)：
\[ S_N(f; x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right). \]
- 即使 \(f(x)\) 连续，\(S_N(f; x)\) 也可能不一致收敛（du Bois-Reymond 构造了反例）。这表明经典意义下的点态收敛性存在局限性。
3. 算术平均与费耶尔和
- 为了改善收敛性，费耶尔引入算术平均的思想：定义前 \(N+1\) 个部分和的平均值为
\[ \sigma_N(f; x) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f; x). \]
这称为费耶尔和。
- 关键观察：平均化能平滑掉部分和序列的振荡，从而增强收敛性。
4. 费耶尔定理的表述
- 定理（费耶尔，1904）：若 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的连续函数，则其费耶尔和 \(\sigma_N(f; x)\) 一致收敛到 \(f(x)\)，即
\[ \lim_{N \to \infty} \sigma_N(f; x) = f(x) \quad \text{一致成立}. \]
- 更一般地，若 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处连续，则 \(\sigma_N(f; x) \to f(x)\)；若 \(f(x)\) 仅有可去间断点，费耶尔和仍收敛于该点函数值的极限。
5. 定理的意义与推广
- 费耶尔定理表明，即使傅里叶级数本身发散，通过算术平均仍可恢复原函数。这为傅里叶级数的求和提供了一种新方法（可和性）。
- 该定理可推广到 \(L^p\) 空间（\(p \geq 1\)），且与泛函分析中的泊松核和阿贝尔可和性密切相关。
- 应用：费耶尔定理是逼近论的基础工具之一，例如在证明魏尔斯特拉斯逼近定理时可用费耶尔核作为逼近核。
6. 证明思路概要
- 费耶尔核的表达：通过三角恒等式，费耶尔和可写为卷积形式：
\[ \sigma_N(f; x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) F_N(x-t) \, dt, \]
其中 \(F_N(\theta) = \frac{1}{N+1} \left( \frac{\sin\left( \frac{N+1}{2} \theta \right)}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)} \right)^2\) 是费耶尔核。
2. 核的性质：费耶尔核是非负的，且满足归一化条件 \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F_N(\theta) \, d\theta = 1\)。
3. 一致收敛性：利用核的非负性和连续性，通过逼近论证完成证明。
总结
费耶尔定理通过算术平均的方法，克服了傅里叶级数收敛性的困难，为连续周期函数提供了一种强收敛模式。这一结果不仅深化了对傅里叶级数的理解，也为调和分析和函数逼近理论奠定了基础。