里斯-索伯列夫空间中的紧嵌入定理 背景与动机 在偏微分方程和变分法中，我们常需研究函数序列的收敛性。若已知一函数序列在某个索伯列夫空间（如 \( W^{1,p}(\Omega) \)）中有界，我们自然希望该序列在较低阶的空间（如 \( L^q(\Omega) \)）中具有强收敛子列。紧嵌入定理正是描述索伯列夫空间到勒贝格空间或其他索伯列夫空间的紧映射的存在性，为分析此类问题提供核心工具。 预备概念：紧嵌入的定义 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个巴拿赫空间，若恒等映射 \( id: X \to Y \) 是紧算子（即把 \( X \) 中的有界集映射为 \( Y \) 中的相对紧集），则称 \( X \) 紧嵌入到 \( Y \)，记作 \( X \hookrightarrow Y \)。这意味着 \( X \) 中任意有界序列必含在 \( Y \) 中收敛的子列。 经典紧嵌入定理的表述 假设 \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) 是有界 Lipschitz 区域，\( 1 \leq p < \infty \)，\( k \geq 1 \) 为整数。则以下紧嵌入成立： 若 \( kp < n \)，则对任意 \( 1 \leq q < p^* = \frac{np}{n-kp} \)，有 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \)。 若 \( kp = n \)，则对任意 \( 1 \leq q < \infty \)，有 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \)。 若 \( kp > n \)，则 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C(\overline{\Omega}) \)（连续函数空间）。 注意：当 \( kp > n \) 时，嵌入到连续函数空间实际上是紧的（由 Arzelà–Ascoli 定理保证）。 证明思路的关键步骤 步骤1：利用 Rellich–Kondrachov 定理 该定理是紧嵌入的核心，其证明依赖于对函数先进行光滑逼近（通过磨光化），再结合 Arzelà–Ascoli 定理和分数次索伯列夫空间的插值理论，证明单位球在 \( L^q \) 中的等度连续性和一致有界性。 步骤2：处理临界指数 \( p^* \) 当 \( q = p^* \) 时紧性可能失效（例如在无界区域或 \( p^* \) 恰好是极限指数时），需通过加权空间或集中紧性原理补充分析。 步骤3：边界正则性的作用 Lipschitz 边界条件保证了延拓算子的存在，使得区域 \( \Omega \) 上的函数可保持范数扩展至全空间，从而化归为已知的全局紧性结果。 反例与紧性的失效情形 若区域无界（如 \( \Omega = \mathbb{R}^n \)），紧嵌入不成立。例如，考虑平移序列 \( f_ m(x) = f(x - m) \)，其中 \( f \in C_ c^\infty \)，该序列在 \( W^{k,p} \) 中有界但在 \( L^q \) 中无收敛子列。 当 \( q = p^* \) 时，索伯列夫空间仅连续嵌入而非紧嵌入，例如在单位球上存在集中序列（concentrating sequence）。 应用举例 考虑泊松方程 \( -\Delta u = f \) 的弱解存在性：通过选取索伯列夫空间中的极小化序列，紧嵌入定理可证明该序列在 \( L^2 \) 中强收敛，从而传递到极限方程的解。 推广与现代发展 紧嵌入定理可推广至分数阶索伯列夫空间、变指数索伯列夫空间，或非光滑区域（如约翰域）。在几何测度论中，该定理与等周不等式密切相关，成为分析非线性偏微分方程解集紧性的基石。