代数簇的Kodaira维数 代数簇的典范除子回顾 设 \( X \) 是一个 \( n \) 维光滑射影代数簇（定义在复数域上）。其 典范除子 \( K_ X \) 是余切丛的最高外幂对应的除子，即 \( K_ X = \bigwedge^n T^* X \) 的任意有理截面所定义的除子类。典范除子的线性等价类不依赖于具体选取，是代数几何中的基本不变量。 典范环与Kodaira维数的定义 考虑典范除子的所有正倍数的截面的直和： \[ R(X) = \bigoplus_ {m \geq 0} H^0(X, mK_ X), \] 称为 \( X \) 的 典范环 。若对所有 \( m \geq 1 \) 均有 \( H^0(X, mK_ X) = 0 \)，则定义 Kodaira维数 \( \kappa(X) = -\infty \)。否则，令 \( \kappa(X) \) 为 \( R(X) \) 的超越次数减一，等价地： \[ \kappa(X) = \limsup_ {m \to \infty} \frac{\log \dim H^0(X, mK_ X)}{\log m}. \] 直观上，Kodaira维数衡量了典范除子的“丰沛程度”。 Kodaira维数的取值与几何意义 Kodaira维数满足 \( \kappa(X) \in \{-\infty, 0, 1, \dots, n\} \)，且具有分类意义： \( \kappa(X) = -\infty \)：如射影空间 \( \mathbb{P}^n \)，其典范除子负定（例如 \( K_ {\mathbb{P}^n} = \mathcal{O}(-n-1) \)）。 \( \kappa(X) = 0 \)：如K3曲面或阿贝尔簇，典范除子是挠元（某倍数为主除子）。 \( \kappa(X) = n \)：即 一般型 簇，典范除子足够丰沛，类似曲线中亏格 \( g \geq 2 \) 的情形。 Kodaira维数的双有理不变性 若两个光滑射影簇 \( X \) 与 \( Y \) 双有理等价，则 \( \kappa(X) = \kappa(Y) \)。这一性质使得Kodaira维数成为 双有理几何 的核心不变量，是研究代数簇分类（如最小模型纲领）的基础。 与曲面的Enriques-Kodaira分类的联系 对代数曲面，Kodaira维数将曲面分为四类： \( \kappa = -\infty \)：有理曲面或直纹曲面。 \( \kappa = 0 \)：K3曲面、Enriques曲面等。 \( \kappa = 1 \)：椭圆曲面。 \( \kappa = 2 \)：一般型曲面。 该分类推广了曲线的亏格分类，是高维代数几何分类理论的雏形。 在极小模型纲领中的应用 当代数簇非一般型时（\( \kappa < n \)），极小模型纲领试图通过双有理变换将其化为“更简单”的模型（如极小模型或Mori纤维空间）。Kodaira维数在此过程中指导分类：例如，当 \( \kappa \geq 0 \) 时，目标为极小模型；当 \( \kappa = -\infty \) 时，目标为Mori纤维空间。