分析学词条：Γ函数 1. 阶乘的推广与动机 在初等数学中，阶乘 \( n! \) 仅对非负整数 \( n \) 有定义。但许多数学问题（如积分、概率论）需要将阶乘推广到实数甚至复数域。 Γ函数 是阶乘在实数和复数范围内的扩展，满足以下核心性质： \[ \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) \quad (\text{递推公式}), \] 且当 \( n \in \mathbb{N} \) 时，\( \Gamma(n+1) = n ! \)。 2. Γ函数的定义 （1）积分定义（欧拉形式） 对任意实部大于零的复数 \( \text{Re}(z) > 0 \)，定义： \[ \Gamma(z) = \int_ 0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt. \] 为什么要求 \( \text{Re}(z) > 0 \) ？ 当 \( t \to 0^+ \) 时，\( t^{z-1} \) 的奇异性要求 \( \text{Re}(z-1) > -1 \)（即 \( \text{Re}(z) > 0 \)），否则积分发散。 验证递推公式 ： 通过分部积分： \[ \Gamma(z+1) = \int_ 0^{\infty} t^z e^{-t} \, dt = \left[ -t^z e^{-t} \right]_ 0^{\infty} + z \int_ 0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt = z \Gamma(z). \] （2）延拓到全复平面 利用递推公式，可将 Γ 函数解析延拓到除非正整数外的整个复平面： \[ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)} \quad (\text{Re}(z+n) > 0). \] 极点 ：Γ 函数在 \( z = 0, -1, -2, \ldots \) 处有一阶极点，留数为： \[ \text{Res}(\Gamma, -n) = \frac{(-1)^n}{n !}. \] 3. 基本性质与特殊值 对称公式 （欧拉反射公式）： \[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}. \] 特别地，\( \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \)。 倍乘公式 （勒让德倍元公式）： \[ \Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z) \Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right). \] 与贝塔函数的关系 ： \[ B(x, y) = \int_ 0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \] 4. 渐近行为与斯特林公式 当 \( |z| \to \infty \)（且 \( |\arg z| < \pi \)），Γ 函数有渐近展开： \[ \Gamma(z) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \left( 1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \cdots \right). \] 斯特林公式是计算大数阶乘的重要工具，例如 \( n ! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)。 5. 应用举例 概率论 ：伽马分布的概率密度函数含 Γ 函数。 数论 ：黎曼ζ函数满足函数方程 \( \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \)。 物理 ：在量子力学和统计力学中，Γ 函数常见于积分计算（如费米-狄拉克积分）。 6. 与其他函数的联系 Digamma 函数 ：\( \psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \)。 不完全 Γ 函数 ：\( \gamma(s, x) = \int_ 0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt \)（下不完全 Γ 函数）。 Γ函数作为特殊函数的核心，桥梁连接了分析学、数论、几何与应用数学。