数学中“群表示论”的起源与发展 第一步：群论的背景与表示的动机 19世纪初，群论从研究代数方程的可解性（伽罗瓦理论）和几何对称性中诞生。随着群的概念逐渐抽象化（如有限群、连续群），数学家面临一个问题：如何“具体”研究抽象群的结构？一个自然想法是将群元素与某种具体数学对象（如矩阵、线性变换）关联起来，使群运算对应这些对象的运算。这种关联就是“表示”（representation），旨在将抽象代数问题转化为线性代数问题，利用矩阵工具研究群的性质。 第二步：早期例子——有限群的表示 19世纪末，弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius）系统发展了有限群的表示理论。他引入以下核心概念： 线性表示 ：将群\(G\)的每个元素对应到一个可逆矩阵\(\rho(g)\)，满足\(\rho(gh) = \rho(g)\rho(h)\)。 特征标 （character）：表示矩阵的迹\(\chi(g) = \text{tr}(\rho(g))\)，其特征标函数可刻画表示的本质性质。 弗罗贝尼乌斯证明特征标满足正交关系，且不可约表示（无法分解为更小表示的直和）的特征标构成完备正交系，类似傅里叶分析中的三角函数系。这一成果将群表示与调和分析联系起来。 第三步：伯恩赛德与舒尔的发展 伯恩赛德（William Burnside）利用表示理论证明了有限单群分类的重要结论（如\(p^a q^b\)阶群可解）。同时，舒尔（Issai Schur）提出“舒尔引理”，刻画了不可约表示之间的映射性质，并引入“舒尔正交关系”强化表示的分类工具。这一时期，有限群表示理论基本成熟，成为研究群结构的标准方法。 第四步：连续群与李群表示 20世纪初，表示理论扩展到连续群（如李群）。核心问题是如何表示非紧群（如洛伦兹群）或无限维表示。 紧李群 ：由于紧群上存在不变积分，弗罗贝尼乌斯-舒尔理论可推广，如彼得-外尔定理（Peter-Weyl Theorem）证明紧群任何表示可分解为不可约表示的直和。 非紧李群 ：如\(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\)，表示可能无限维且结构复杂。盖尔范特（Israel Gelfand）等人发展酉表示理论，研究希尔伯特空间上的群作用，应用于数论和物理。 第五步：表示理论与物理的交叉 群表示在量子力学中成为基本工具： 原子谱线对称性对应旋转群\(\mathrm{SO}(3)\)的表示，角动量算符的本征态生成不可约表示。 维格纳（Eugene Wigner）将表示理论用于量子系统对称性分析，奠定现代物理中对称性表示的基础。 第六步：现代发展——朗兰兹纲领与几何表示 20世纪后半叶，表示理论走向深度融合： 朗兰兹纲领 ：将数论中伽罗瓦群的表示与自守形式（李群的表示）关联，成为现代数论的核心。 几何表示论 ：通过几何对象（如旗流形、D-模）构造表示，如卡茨-穆迪代数表示与量子群表示，影响弦论和可积系统。 这一演进表明，群表示论从有限群的具体计算，逐步发展为连接代数、几何、数论与物理的宏大框架。