模的投射分解 模的投射分解是同调代数的核心工具，用于研究模的代数性质。下面从基础概念逐步展开说明。 1. 背景：模与正合序列 模 （已讲）是环上的线性结构，可视为向量空间的推广。 正合序列 ：一串模同态序列 \( \cdots \to M_ {i-1} \xrightarrow{f_ i} M_ i \xrightarrow{f_ {i+1}} M_ {i+1} \to \cdots \)，满足 \(\operatorname{Im} f_ i = \operatorname{Ker} f_ {i+1}\)。例如，\(0 \to A \to B \to C \to 0\) 是短正合序列，表示 \(A\) 是 \(B\) 的子模，且 \(C \cong B/A\)。 2. 投射模 定义 ：模 \(P\) 是 投射模 ，若对任意满同态 \(g: M \to N\) 和同态 \(h: P \to N\)，存在同态 \(\tilde{h}: P \to M\) 使得 \(g \circ \tilde{h} = h\)（即下图交换）： \[ \begin{array}{ccc} & P & \\ \tilde{h} \downarrow & \,\, \downarrow h & \\ M & \xrightarrow{g} & N \to 0 \end{array} \] 等价刻画 ：\(P\) 是投射模当且仅当它是一些自由模的直和项，或函子 \(\operatorname{Hom}(P, -)\) 保持正合性。 3. 投射分解的构造 目标 ：用投射模近似任意模 \(M\)。 步骤 ： 取满同态 \(P_ 0 \to M\)，其中 \(P_ 0\) 为投射模（如自由模）。 令 \(K_ 0 = \operatorname{Ker}(P_ 0 \to M)\)，再取满同态 \(P_ 1 \to K_ 0\)（\(P_ 1\) 投射）。 重复此过程，得到长正合序列： \[ \cdots \to P_ n \to P_ {n-1} \to \cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to M \to 0, \] 称为 \(M\) 的 投射分解 。若在某步后 \(P_ i=0\)，则分解为有限长度。 4. 同调维数与应用 投射维数 ：最短分解的长度（若无限则记为 \(\infty\)），反映模的复杂性。 Ext 函子 ：通过比较不同投射分解，定义 \(\operatorname{Ext}^n(M, N)\) 为衡量模 \(M, N\) 扩展关系的同调不变量。 几何意义 ：在代数几何中，凝聚层的投射分解对应向量丛的分解，用于计算层上同调。 5. 示例：主理想整环上的模 若环是主理想整环（如 \(\mathbb{Z}\)），则所有投射模自由，模的投射维数不超过 1。 例如，对 \(\mathbb{Z}\)-模 \(M=\mathbb{Z}/n\)，分解为： \[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n \to 0. \] 通过投射分解，可将模的代数问题转化为投射模的线性问题，是同调代数的基石。