遍历理论中的不变σ-代数与条件期望 基础概念：可测空间与σ-代数 在测度论中，一个可测空间由集合 \( X \) 和其上的σ-代数 \( \mathcal{B} \) 构成。σ-代数是 \( X \) 的子集构成的集合族，满足包含空集、对补集和可数并运算封闭。在遍历理论中，我们通常考虑概率空间 \( (X, \mathcal{B}, \mu) \)，其中 \( \mu \) 是概率测度。若 \( \mathcal{F} \subset \mathcal{B} \) 是一个子σ-代数，它表示一种“信息结构”：\( \mathcal{F} \) 中的可测集对应我们能够通过观测区分的状态。 不变σ-代数的定义 设 \( T: X \to X \) 是一个保测变换（即对任意 \( A \in \mathcal{B} \)，有 \( \mu(T^{-1}A) = \mu(A) \)）。称子σ-代数 \( \mathcal{F} \subset \mathcal{B} \) 是 T-不变的 ，若对任意 \( A \in \mathcal{F} \)，有 \( T^{-1}A \in \mathcal{F} \)。这意味着 \( T \) 的作用不产生超出 \( \mathcal{F} \) 的新信息。特别地， 平凡σ-代数 \( \{\emptyset, X\} \) 和整个σ-代数 \( \mathcal{B} \) 总是平凡的T-不变子σ-代数。 条件期望的回顾 给定子σ-代数 \( \mathcal{F} \subset \mathcal{B} \)，函数 \( f \in L^1(\mu) \) 关于 \( \mathcal{F} \) 的 条件期望 \( \mathbb{E}(f \mid \mathcal{F}) \) 是唯一的 \( \mathcal{F} \)-可测函数，满足对任意 \( A \in \mathcal{F} \)， \[ \int_ A f \, d\mu = \int_ A \mathbb{E}(f \mid \mathcal{F}) \, d\mu. \] 条件期望可视为在给定信息 \( \mathcal{F} \) 下对 \( f \) 的最佳预测。 不变σ-代数与条件期望的关联 若 \( \mathcal{F} \) 是T-不变的，则对任意可积函数 \( f \)，条件期望满足 \[ \mathbb{E}(f \circ T \mid \mathcal{F}) = \mathbb{E}(f \mid \mathcal{F}) \circ T \quad \mu\text{-几乎处处}. \] 这一性质反映了 \( T \) 的保测性：变换后的函数 \( f \circ T \) 在 \( \mathcal{F} \) 下的预测，等于先预测 \( f \) 再应用 \( T \)。 遍历性与不变σ-代数的关系 系统 \( (X, \mathcal{B}, \mu, T) \) 是 遍历的 ，当且仅当每个T-不变集 \( A \in \mathcal{B} \)（即 \( T^{-1}A = A \)）满足 \( \mu(A) = 0 \) 或 \( \mu(A) = 1 \）。这等价于说 平凡σ-代数是唯一的T-不变子σ-代数 （在忽略零测集的意義下）。此时，条件期望退化为常值函数：\( \mathbb{E}(f \mid \mathcal{F}_ {\text{triv}}) = \int f \, d\mu \)。 应用：马尔可夫链的转移不变σ-代数 在马尔可夫链中，若 \( \mathcal{F}_ 0 \) 表示初始状态的σ-代数，则转移不变σ-代数 \( \mathcal{I} \) 由满足 \( T^{-1}A = A \) 的集合生成。通过分析 \( \mathcal{I} \)，可判断链的遍历性：若 \( \mathcal{I} \) 是平凡的，则链不可分解为更小的不变子系统。 推广：非交换遍历理论中的不变子代数 在算子代数框架下，σ-代数可推广为冯·诺依曼代数，T-不变性对应子代数在Koopman算子作用下的不变性。这一视角允许将经典结果推广到量子动力系统。