数学中“逼近论”的演进 逼近论是数学中研究如何用简单函数（如多项式、有理函数等）来近似表示复杂函数，并分析近似误差的学科。它的发展主线是从数值计算的实际需求出发，逐步走向理论深化与抽象化。 第一步：早期实践与多项式逼近的萌芽 18世纪以前，逼近思想源于实际计算需求。例如，古代数学家通过有理数（如22/7）近似圆周率π。17世纪，牛顿和格雷戈里等人为插值法奠定基础，通过多项式在有限点匹配目标函数值实现局部近似。但这一时期缺乏误差估计的系统理论。 第二步：维尔斯特拉斯逼近定理与一致逼近的奠基 19世纪，分析严格化推动逼近论质变。1885年，维尔斯特拉斯证明里程碑定理：闭区间上的连续函数可用多项式列一致逼近（即误差在全区间的上确界趋于零）。这首次从理论上保证多项式逼近的普适性，并催生“一致逼近”范式——以最大误差最小化为目标。此后，切比雪夫系统研究最优逼近问题，发现切比雪夫多项式在最小化最大误差意义下具有最优性。 第三步：傅里叶分析与平方逼近的发展 与一致逼近平行，傅里叶分析开启“平方逼近”路径。19世纪初，傅里叶证明函数可展为正弦余弦级数，其部分和是在平方积分误差最小意义下的最佳三角逼近。勒贝格积分理论出现后，平方逼近被置于希尔伯特空间框架下：函数视为向量，正交函数系（如勒让德多项式）构成基，逼近转化为正交投影问题，误差由范数度量。这一范式在物理和工程中广泛应用。 第四步：逼近阶与函数光滑性的深刻关联 20世纪初，杰克逊和伯恩斯坦分别研究逼近误差与函数光滑性的关系。杰克逊定理证明：函数的光滑性（如可微次数）越强，多项式逼近的误差下降速度越快；伯恩斯坦定理则反之，从逼近速度推断函数光滑性。这一对定理揭示逼近论与函数论的本质联系，推动索伯列夫空间等现代理论发展。 第五步：理性逼近与帕德逼近的突破 多项式逼近在奇点附近效率低，理性逼近（有理函数逼近）应运而生。19世纪末，帕德提出帕德逼近：用有理函数在一点匹配目标函数的泰勒展开前若干项，尤其适用于逼近级数收敛慢的函数（如指数函数）。20世纪，苏联数学家冈察洛夫等深入研究理性逼近的收敛性，发现其能有效处理极点问题，在数值分析和物理模型中作用显著。 第六步：计算复杂性指导下的现代逼近论 20世纪后期，逼近论与计算复杂性交叉。科莫戈罗夫等人研究“逼近宽度”：给定函数类，用n个参数逼近时的最优误差下界。这为算法设计提供理论极限，例如，稀疏函数类可用少量参数高效逼近。同时，小波分析等多尺度逼近工具兴起，通过局部化基函数适应不同区域的函数特征，在信号处理中取得突破。 总结 ：逼近论从数值近似经验出发，经维尔斯特拉斯定理实现理论奠基，分化为一致逼近与平方逼近两条路径，并通过光滑性分析、理性逼近和计算复杂性研究不断深化，成为连接纯数学与应用数学的桥梁。