圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十四）

在之前的讨论中，我们详细分析了圆的渐开线与渐伸线在曲率、弧长参数和运动学上的内在联系。现在，我们将进一步探讨这两条曲线在几何变换下的不变性，特别是等距变换和相似变换对它们关系的影响。

1. 基本关系的回顾
   • 给定一个圆（基圆），其渐开线是从圆上一点将一条紧绷的线松开时，线端点所经过的轨迹。
   • 同一条渐开线对应的渐屈线恰好就是这个基圆本身。

• 渐开线的弧长参数 \(s\) 与基圆上展开的弧长直接相关。如果基圆半径为 \(R\)，渐开线上与基圆接触点的切点所转过的角度为 \(\theta\)，则渐开线的弧长可表示为 \(s = \frac{1}{2} R \theta^2\)（从起点开始计算）。

2. 等距变换下的不变性
   • 等距变换（也称为刚性变换）包括旋转和平移。这些变换保持图形中任意两点间的距离不变，因此也保持曲线的长度、角度和曲率。
   • 对一个圆及其渐开线同时施加同一个等距变换（例如，将整个图形旋转30度并向右平移5个单位）。

• 变换后，基圆仍然是圆（半径 \(R\) 不变）。
  * 原来的渐开线会变成新圆的渐开线。这是因为“紧绷的线松开”这一生成过程依赖于切线和法线的方向，而等距变换保持这些方向关系不变。
  * 因此，渐开线与渐屈线（基圆）的微分几何关系在等距变换下是完全不变的。它们的曲率关系、弧长参数关系等所有性质都保持不变。

3. 相似变换下的协变性
   • 相似变换在等距变换的基础上增加了均匀缩放。图形整体放大或缩小，但形状保持不变。角度不变，但长度和曲率会改变。

• 对一个圆及其渐开线同时施加一个缩放因子为 \(k (k>0)\) 的相似变换。
• 基圆的变化：新圆的半径变为 \(R' = kR\)。
  * 渐开线的变化：原来的渐开线会变成新圆的渐开线。这是因为缩放操作均匀地改变了所有几何尺寸，生成渐开线的“松开”过程被同等比例缩放。
  * 关系的协变：渐开线与基圆的微分几何关系在相似变换下是协变的，而非不变。这意味着关系的形式保持不变，但其中的参数会按比例缩放。
• 弧长参数：如果原渐开线弧长为 \(s\)，新渐开线弧长变为 \(s' = ks\)。
• 曲率：原渐开线在一点的曲率为 \(\kappa\)，新渐开线在对应点的曲率变为 \(\kappa' = \kappa / k\)（因为曲率是半径的倒数，而图形被放大了 \(k\) 倍，曲率半径也放大 \(k\) 倍，故曲率缩小为 \(1/k\)）。基圆的曲率同样从 \(1/R\) 变为 \(1/(kR)\)。渐开线曲率与基圆曲率之间的关系比例保持不变。

4. 总结
   圆的渐开线与其渐屈线（基圆）构成的系统，在等距变换下具有完全的不变性，是所有几何性质中最强的对称性。在相似变换下，该系统表现出协变性，即其内在的几何关系结构得以保持，只是具体的尺度参数发生按比例的缩放。这一特性使得渐开线在工程应用（如不同尺寸的齿轮设计）中具有极大的实用价值。