遍历理论中的Koopman算子 我们先从动力系统的基本框架开始。设 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 是一个保测动力系统，其中 \(T: X \to X\) 是一个可测变换，且满足 \(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\) 对所有可测集 \(A \in \mathcal{B}\) 成立。Koopman算子的引入是为了将系统的动力学“转移”到函数空间上进行分析。 1. 定义与基本性质 Koopman算子 \(U_ T\) 是定义在函数空间 \(L^p(\mu)\)（通常取 \(p=2\)）上的线性算子，其作用为： \[ (U_ T f)(x) = f(Tx), \quad \forall f \in L^p(\mu). \] 由于 \(T\) 保测，\(U_ T\) 是等距的（在 \(L^2\) 中甚至是酉算子）。这一线性化操作将非线性动力系统的研究转化为对线性算子的分析。 2. 谱理论初步 Koopman算子的谱（特征值、连续谱等）与系统的遍历性质密切相关。例如： \(T\) 是遍历的当且仅当 \(U_ T\) 的1特征值对应的特征空间是常数函数。 若 \(U_ T\) 有非平凡离散谱（即存在非常数特征函数），则系统具有某种周期性或拟周期性。 3. 与动力系统结构的关联 Koopman算子的谱类型可对系统进行分类： 离散谱系统：特征函数张成 \(L^2\)，系统具有纯周期性质（如旋转）。 连续谱系统：若 \(U_ T\) 仅有连续谱，则系统表现出混合性或弱混合性。 4. 算子代数方法 通过研究 \(U_ T\) 生成的算子代数（如冯·诺依曼代数），可以深入分析系统的因子、扩展和刚性。例如，两个系统谱同构当且仅当其Koopman算子酉等价。 5. 推广与应用 Koopman算子框架可推广到随机动力系统、非自治系统甚至无限维系统。近年来在数据驱动方法中，通过近似Koopman算子的特征函数来提取动力系统的主导模式，已成为计算遍历理论的重要工具。 通过Koopman算子的视角，遍历理论中的许多经典问题（如谱刚性、熵与谱的关系）可转化为线性算子的分析问题，提供了强大的代数与泛函工具。