圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十三）
字数 1577 2025-11-08 10:03:13

圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十三）

本讲将深入探讨圆的渐开线与渐伸线在齿轮啮合中的运动学同步性，即它们如何共同保证一对啮合齿轮在传动过程中角速度的精确比例关系。

  1. 基本齿轮啮合原理回顾
    一对啮合齿轮要平稳传动，必须满足一个基本条件：在接触点处，两齿轮的线速度必须大小相等、方向相同。这个接触点被称为啮合点。如果这个条件不满足，齿轮之间会产生冲击、振动和噪音，甚至无法传动。

  2. 渐开线齿廓如何满足啮合基本条件
    渐开线作为齿廓具有一个关键性质：过啮合点作两齿轮基圆的公切线，该公切线同时是两齿廓在啮合点处的公法线。

    • 步骤一：确定公法线方向。根据渐开线的性质（渐开线上任意点的法线必与基圆相切），齿轮1齿廓在啮合点M的法线是与其基圆相切的直线MN1，齿轮2齿廓在M点的法线是与其基圆相切的直线MN2。由于两基圆是固定的，它们的内公切线是唯一的，因此直线MN1和MN2重合，即为这条公切线N1N2。所以，公切线N1N2就是两齿廓在啮合点M的公法线。
    • 步骤二：速度分析。在啮合点M，齿轮1给齿轮2的作用力是沿着公法线方向的。根据运动学，两物体在接触点处的相对速度方向必须垂直于公法线（即沿着公切线方向），否则将发生干涉或分离。而为了保证传动平稳，我们要求相对速度为零，即绝对速度相同。因此，两齿轮在M点的速度在公法线上的分量必须相等。

  3. 渐伸线（即发生线）的角色与运动学同步
    现在，我们引入渐伸线的概念。回忆一下，圆的渐开线是“展开”的线，而渐伸线就是那根被展开的、紧绷的绳子（即发生线）。在齿轮啮合中，这根“绳子”就是上面所讲的基圆的内公切线N1N2。

    • 步骤三：渐伸线作为啮合线。在传动过程中，啮合点M沿着这条公切线N1N2移动。因此，这条公切线被称为啮合线。而这条啮合线，正是生成两个齿轮渐开线齿廓的那根“绳子”——即渐伸线。
  • 步骤四：速度计算与传动比。设齿轮1和齿轮2的基圆半径分别为 \(r_{b1}\) 和 \(r_{b2}\)，角速度分别为 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\)。
  • 齿轮1上M点的线速度大小为 \(v_1 = \omega_1 \cdot r_{b1}\)（因为M点绕齿轮1基圆圆心O1的瞬时转动半径就是O1到公法线（啮合线）的垂直距离，恰好是基圆半径 \(r_{b1}\)）。
  • 同理，齿轮2上M点的线速度大小为 \(v_2 = \omega_2 \cdot r_{b2}\)。
  • 由于 \(v_1\) 和 \(v_2\) 的方向都垂直于O1M和O2M，但为了在公法线方向分量相等且同向，其大小必须相等，即：
    \(v_1 = v_2\)
  • 代入得： \(\omega_1 \cdot r_{b1} = \omega_2 \cdot r_{b2}\)
  • 因此，传动比 \(i_{12}\) 为：
    \(i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_{b2}}{r_{b1}}\)
  • 由于基圆半径是固定的，所以传动比 \(i_{12}\) 是一个恒定不变的常数。

  1. 结论：渐开线与渐伸线的协同实现同步
    综上所述：

    • 渐开线齿廓 的性质决定了啮合点始终落在一条固定的直线（基圆公切线）上。
    • 这条固定的直线，即渐伸线（啮合线），为两齿轮在啮合点提供了恒定的力臂（基圆半径）。
    • 正是这个恒定的力臂，使得两齿轮的角速度之比（传动比）始终保持恒定，实现了运动的平稳、同步传递。

    因此，圆的渐开线（作为齿廓）和渐伸线（作为啮合线）通过这种独特的微分几何关系，共同构成了现代齿轮传动技术的理论基础，确保了动力传递的准确性和平稳性。

圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十三） 本讲将深入探讨圆的渐开线与渐伸线在齿轮啮合中的运动学同步性，即它们如何共同保证一对啮合齿轮在传动过程中角速度的精确比例关系。 基本齿轮啮合原理回顾 一对啮合齿轮要平稳传动，必须满足一个基本条件： 在接触点处，两齿轮的线速度必须大小相等、方向相同 。这个接触点被称为 啮合点 。如果这个条件不满足，齿轮之间会产生冲击、振动和噪音，甚至无法传动。 渐开线齿廓如何满足啮合基本条件 渐开线作为齿廓具有一个关键性质： 过啮合点作两齿轮基圆的公切线，该公切线同时是两齿廓在啮合点处的公法线 。 步骤一：确定公法线方向 。根据渐开线的性质（渐开线上任意点的法线必与基圆相切），齿轮1齿廓在啮合点M的法线是与其基圆相切的直线MN1，齿轮2齿廓在M点的法线是与其基圆相切的直线MN2。由于两基圆是固定的，它们的内公切线是唯一的，因此直线MN1和MN2重合，即为这条公切线N1N2。所以， 公切线N1N2就是两齿廓在啮合点M的公法线 。 步骤二：速度分析 。在啮合点M，齿轮1给齿轮2的作用力是沿着公法线方向的。根据运动学，两物体在接触点处的相对速度方向必须垂直于公法线（即沿着公切线方向），否则将发生干涉或分离。而为了保证传动平稳，我们要求相对速度为零，即绝对速度相同。因此，两齿轮在M点的速度在公法线上的分量必须相等。 渐伸线（即发生线）的角色与运动学同步 现在，我们引入渐伸线的概念。回忆一下，圆的渐开线是“展开”的线，而 渐伸线就是那根被展开的、紧绷的绳子（即发生线） 。在齿轮啮合中，这根“绳子”就是上面所讲的 基圆的内公切线N1N2 。 步骤三：渐伸线作为啮合线 。在传动过程中，啮合点M沿着这条公切线N1N2移动。因此，这条公切线被称为 啮合线 。而这条啮合线，正是生成两个齿轮渐开线齿廓的那根“绳子”——即渐伸线。 步骤四：速度计算与传动比 。设齿轮1和齿轮2的基圆半径分别为 \( r_ {b1} \) 和 \( r_ {b2} \)，角速度分别为 \( \omega_ 1 \) 和 \( \omega_ 2 \)。 齿轮1上M点的线速度大小为 \( v_ 1 = \omega_ 1 \cdot r_ {b1} \)（因为M点绕齿轮1基圆圆心O1的瞬时转动半径就是O1到公法线（啮合线）的垂直距离，恰好是基圆半径 \( r_ {b1} \)）。 同理，齿轮2上M点的线速度大小为 \( v_ 2 = \omega_ 2 \cdot r_ {b2} \)。 由于 \( v_ 1 \) 和 \( v_ 2 \) 的方向都垂直于O1M和O2M，但为了在公法线方向分量相等且同向，其大小必须相等，即： \( v_ 1 = v_ 2 \) 代入得： \( \omega_ 1 \cdot r_ {b1} = \omega_ 2 \cdot r_ {b2} \) 因此，传动比 \( i_ {12} \) 为： \( i_ {12} = \frac{\omega_ 1}{\omega_ 2} = \frac{r_ {b2}}{r_ {b1}} \) 由于基圆半径是固定的，所以传动比 \( i_ {12} \) 是一个 恒定不变的常数 。 结论：渐开线与渐伸线的协同实现同步 综上所述： 渐开线齿廓 的性质决定了啮合点始终落在一条固定的直线（基圆公切线）上。 这条固定的直线，即 渐伸线（啮合线） ，为两齿轮在啮合点提供了 恒定的力臂 （基圆半径）。 正是这个恒定的力臂，使得两齿轮的角速度之比（传动比）始终保持恒定，实现了运动的 平稳、同步传递 。 因此，圆的渐开线（作为齿廓）和渐伸线（作为啮合线）通过这种独特的微分几何关系，共同构成了现代齿轮传动技术的理论基础，确保了动力传递的准确性和平稳性。