遍历理论中的转移不变σ-代数 1. 基本定义与动机 转移不变σ-代数是研究平稳随机过程或保测动力系统长期行为的关键工具。设 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 是一个保测动力系统，其中 \(T\) 是概率空间 \((X, \mathcal{B}, \mu)\) 上的可测变换且保测。系统的 转移不变σ-代数 \(\mathcal{I}_ T\) 定义为满足以下条件的子σ-代数： \[ \mathcal{I}_ T = \{ A \in \mathcal{B} : T^{-1}(A) = A \ \mu\text{-几乎处处} \}. \] 若系统是遍历的（即 \(\mathcal{I}_ T\) 仅包含零测或满测集），则该σ-代数退化为平凡σ-代数。但非遍历系统中，\(\mathcal{I}_ T\) 捕捉了系统在变换 \(T\) 下完全不变的集合，反映了系统的非遍历分量。 2. 与平稳过程的关系 考虑一个取值在可测空间 \((E, \mathcal{E})\) 的平稳过程 \(\{X_ n\}_ {n \in \mathbb{Z}}\)，其背后存在一个规范动力系统：令 \(X = E^{\mathbb{Z}}\)，\(\mathcal{B}\) 为乘积σ-代数，\(\mu\) 为过程对应的平稳测度，\(T\) 为左移变换（即 \((Tx) n = x {n+1}\)）。此时， 转移不变σ-代数 对应于过程的所有平移不变事件（如“序列最终周期性回归”或“长期平均收敛到某值”）。具体地，\(\mathcal{I}_ T\) 中的集合可表示为 \(\{x \in X: \theta(x) \in A\}\)，其中 \(\theta\) 是平移不变的函数。 3. 条件期望与遍历定理 由条件期望的性质，对任意可积函数 \(f \in L^1(\mu)\)，其条件期望 \(\mathbb{E}[ f | \mathcal{I}_ T]\) 是 \(\mathcal{I}_ T\)-可测的，且满足 \(T\)-不变性： \[ \mathbb{E}[ f \circ T | \mathcal{I}_ T] = \mathbb{E}[ f | \mathcal{I} T ] \quad \mu\text{-a.s.} \] 在 伯克霍夫遍历定理 中，时间平均收敛到空间平均的条件可加强为：时间平均 \(\frac{1}{n}\sum {k=0}^{n-1} f \circ T^k\) 几乎处处收敛于 \(\mathbb{E}[ f | \mathcal{I}_ T ]\)。这表明即使系统非遍历，极限行为仍由转移不变σ-代数控制。 4. 与因子系统的关联 若存在另一个保测系统 \((Y, \mathcal{C}, \nu, S)\) 和一个因子映射 \(\pi: X \to Y\)（即满足 \(\pi \circ T = S \circ \pi\) 且 \(\mu \circ \pi^{-1} = \nu\)），则 \(\pi^{-1}(\mathcal{C})\) 是 \(X\) 的一个子σ-代数。特别地，当 \(S\) 是遍历的，\(\mathcal{I}_ T\) 可分解为不同遍历分支的直积分。通过研究 \(\mathcal{I}_ T\) 的结构，可将系统分解为遍历分量（即 遍历分解定理 ）。 5. 在随机环境中的应用 在 随机环境下的遍历理论 中，转移不变σ-代数用于描述环境过程的稳态行为。例如，若环境由另一个动力系统生成，则复合系统的转移不变σ-代数与环境σ-代数交织，影响粒子或随机游走的渐近性质（如 随机环境的马尔可夫链 的极限定理）。 6. 与非交换遍历理论的联系 在算子代数框架下，转移不变σ-代数对应到冯·诺依曼代数中的 不变子代数 。通过研究该代数的中心投影，可推广经典结果到群作用或非交换动力系统（如 遍历理论中的算子代数方法 ）。