圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十二）
本次讲解将深入探讨圆的渐开线与渐伸线在微分几何框架下的曲率关系，特别是如何通过渐开线的几何特性直接推导出其对应的渐屈线（即原圆）的曲率。
- 预备知识回顾
- 渐开线定义：一条曲线的渐开线是将其切线作为线轴“展开”时，线轴上固定一点所描绘的轨迹。对于半径为 \(R\) 的圆，其渐开线是从圆周上“解开”一条紧绷的线时，线端点形成的轨迹。
- 渐屈线定义：一条曲线的渐屈线是其所有曲率中心的轨迹。对于圆的渐开线，其渐屈线正是该圆本身。
- 曲率 (\(\kappa\))：描述曲线在某一点处弯曲程度的量。对于一条由弧长参数 \(s\) 给出的曲线 \(\vec{r}(s)\)，其曲率 \(\kappa = \left\| \frac{d\vec{T}}{ds} \right\|\)，其中 \(\vec{T}\) 是单位切向量。
- 圆的渐开线的参数方程与切向量
设圆的半径为 \(R\)。圆的渐开线的一种常用参数方程为：
\[ \begin{cases} x = R(\cos\theta + \theta\sin\theta) \\ y = R(\sin\theta - \theta\cos\theta) \end{cases} \]
其中，参数 \(\theta\) 是展开线在圆上的切点所对应的圆心角（从起始点开始度量）。
对参数方程求导，得到切向量：
\[ \vec{r}'(\theta) = \left( R(-\sin\theta + \sin\theta + \theta\cos\theta),\ R(\cos\theta - \cos\theta + \theta\sin\theta) \right) = (R\theta\cos\theta,\ R\theta\sin\theta) \]
因此，切向量的模长为：
\[ \|\vec{r}'(\theta)\| = R\theta \]
单位切向量 \(\vec{T}\) 为：
\[ \vec{T} = \frac{\vec{r}'(\theta)}{\|\vec{r}'(\theta)\|} = (\cos\theta,\ \sin\theta) \]
- 圆的渐开线的曲率计算
为了求曲率 \(\kappa\)，我们需要将单位切向量 \(\vec{T}\) 对弧长 \(s\) 求导。首先，建立弧长微分 \(ds\) 与参数微分 \(d\theta\) 的关系：
\[ ds = \|\vec{r}'(\theta)\| d\theta = R\theta d\theta \]
现在，将单位切向量 \(\vec{T}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)\) 对弧长 \(s\) 求导：
\[ \frac{d\vec{T}}{ds} = \frac{d\vec{T}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{ds} = (-\sin\theta,\ \cos\theta) \cdot \frac{1}{R\theta} \]
因此，曲率 \(\kappa\) 是这个导数的模长：
\[ \kappa = \left\| \frac{d\vec{T}}{ds} \right\| = \frac{1}{R\theta} \]
结论一：圆的渐开线在参数为 \(\theta\) 的点处的曲率为 \(\kappa = \frac{1}{R\theta}\)。
- 曲率半径与渐屈线的几何联系
- 曲率半径 (\(\rho\))：是曲率的倒数，即 \(\rho = \frac{1}{\kappa}\)。对于渐开线，\(\rho = R\theta\)。
- 几何解释：回顾渐开线的生成过程，参数 \(\theta\) 对应的点，是由圆上切点处展开长度为 \(R\theta\) 的线段得到的。这个长度 \(R\theta\) 恰好等于该点处的曲率半径 \(\rho\)。
- 曲率中心：曲线上一点 \(P\) 的曲率中心位于该点主法线方向上，与 \(P\) 点的距离为曲率半径 \(\rho\)。
对于渐开线，在参数 \(\theta\) 的点 \(P\)：
- 其切线方向是 \(\vec{T} = (\cos\theta, \sin\theta)\)。
- 其主法线方向（指向曲线凹侧）与从 \(P\) 点指向圆上对应切点 \(Q\) 的方向一致。从参数方程可知，\(P\) 点到圆心 \(O\) 的距离是 \(R\sqrt{1+\theta^2}\)，而 \(P\) 点到切点 \(Q\) 的距离正好是 \(R\theta\)，即曲率半径 \(\rho\)。
- 因此，点 \(Q\) 就是点 \(P\) 的曲率中心。
- 核心微分几何关系：从渐开线曲率推导渐屈线
我们已经知道，圆的渐开线的渐屈线是原圆。现在，我们从渐开线的曲率公式 \(\kappa = 1/(R\theta)\) 出发，来理解这一关系。
- 渐开线上一点 \(P\) 的曲率中心是圆上的对应切点 \(Q\)。
- 当 \(P\) 点沿渐开线运动时，其曲率中心 \(Q\) 也随之运动。\(Q\) 点的轨迹就是渐开线的渐屈线。
- 由于 \(Q\) 点始终在半径为 \(R\) 的圆上，所以渐屈线就是这个圆。
- 从曲率数值上看，渐开线的曲率半径 \(\rho = R\theta\) 随着 \(\theta\) 线性增长。而渐屈线（圆）的曲率是一个常数 \(1/R\)。这体现了原曲线（渐开线）与其渐屈线（圆）在弯曲性质上的内在联系：渐开线变得越来越平缓（曲率减小），而其曲率中心的轨迹（圆）则保持恒定的弯曲。
总结：本次讲解通过计算圆的渐开线的曲率，明确了其曲率半径在几何上等于从该点到生成圆的切线段长度。这一性质直接揭示了渐开线上任一点的曲率中心正是生成圆上对应的切点，从而在微分几何的层面严格证明了“圆的渐开线的渐屈线是该圆本身”这一基本关系。