圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续三十一） 回顾曲率中心的运动学描述 在圆的渐开线生成过程中，渐开线上任意点 \( P \) 的曲率中心 \( C \) 位于基圆的切点 \( T \) 处（即渐开线的瞬时旋转中心）。此时，线段 \( PT \) 是渐开线的法线，且长度随展开角增加而线性增长。 曲率半径的显式表达式 设基圆半径为 \( R \)，展开角为 \( \theta \)（弧度），则渐开线的曲率半径 \( \rho \) 满足： \[ \rho = R \cdot \theta. \] 这是因为曲率中心 \( C \) 与点 \( P \) 的距离恰好等于已展开的圆弧长度 \( R\theta \)。此关系表明渐开线的曲率半径从基圆处（\( \theta = 0 \)）开始单调增加。 渐开线与渐伸线的曲率中心互换性 渐开线的曲率中心 \( C \) 位于基圆上，且是渐伸线（即基圆）上的点。 反之，渐伸线（基圆）上任意点 \( C \) 的曲率中心是圆心 \( O \)，而该点 \( C \) 恰好是渐开线在对应展开角 \( \theta \) 处的曲率中心。 这种互为曲率中心的关系体现了渐开线与渐伸线的对偶性。 曲率中心的轨迹方程 若以基圆圆心 \( O \) 为原点，渐开线参数方程为： \[ \begin{cases} x = R(\cos\theta + \theta\sin\theta), \\ y = R(\sin\theta - \theta\cos\theta). \end{cases} \] 则曲率中心 \( C \) 的坐标为基圆上对应切点： \[ C = (R\cos\theta, R\sin\theta). \] 这表明曲率中心的轨迹是基圆本身，即渐伸线。 曲率半径的微分几何验证 通过渐开线的曲率公式 \( \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{R\theta} \)，可验证其与运动学结论一致。当 \( \theta \to 0^+ \) 时，曲率半径 \( \rho \to 0 \)，对应渐开线在基圆处的奇点（曲率无穷大）。