代数簇的Grothendieck-Riemann-Roch定理 背景与动机 Grothendieck-Riemann-Roch定理是代数几何中的核心结果，它将经典Riemann-Roch定理推广到高维代数簇和相对态射的框架中。其动机在于回答以下问题：给定代数簇之间的态射 \(f: X \to Y\)，如何通过拓扑不变量（如陈类）表达凝聚层沿 \(f\) 的直接像的欧拉示性数？该定理统一了拓扑与代数几何的工具，成为现代相交理论的基础。 预备概念：格罗滕迪克群与陈类 格罗滕迪克群 \(K_ 0(X)\) ：对于代数簇 \(X\)，定义 \(K_ 0(X)\) 为凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群（或向量丛的格罗滕迪克群）。其元素为层的等价类，满足短正合列关系 \([ E] = [ E'] + [ E'' ]\)。 陈类 ：通过陈特征 \(\text{ch}: K_ 0(X) \to A^ (X) \otimes \mathbb{Q}\) 将 \(K_ 0\)-群映射到周环 \(A^ (X)\)（有理系数），其中 \(\text{ch}\) 满足乘性且对层 \(E\) 有 \(\text{ch}(E) = \text{rank}(E) + c_ 1(E) + \frac{1}{2}(c_ 1^2 - 2c_ 2)(E) + \cdots\)。 托德类 ：定义托德类 \(\text{td}(X) \in A^* (X) \otimes \mathbb{Q}\)，对于光滑簇，若切丛为 \(T_ X\)，则 \(\text{td}(X) = \prod_ {i=1}^{\dim X} \frac{\alpha_ i}{1 - e^{-\alpha_ i}}\)（其中 \(\alpha_ i\) 为 \(T_ X\) 的陈根）。 定理的陈述 设 \(f: X \to Y\) 为光滑射影代数簇间的态射，\(E\) 为 \(X\) 上的凝聚层（或向量丛），则以下公式在 \(A^ (Y) \otimes \mathbb{Q}\) 中成立： \[ \text{ch}(f_ ! E) \cdot \text{td}(Y) = f_ \left( \text{ch}(E) \cdot \text{td}(X) \right). \] 这里 \(f_ ! E = \sum_ i (-1)^i R^i f_* E\) 为 \(E\) 沿 \(f\) 的直接像（在 \(K_ 0(Y)\) 中），\(f_ : A^ (X) \to A^* (Y)\) 为周环的推前映射。 与经典Riemann-Roch的关系 当 \(Y = \{\text{pt}\}\) 且 \(X\) 为曲线时，定理退化为经典Riemann-Roch公式：对线丛 \(L\)，有 \(h^0(L) - h^1(L) = \deg(L) + 1 - g\)。 当 \(X\) 为曲面时，定理蕴含Noether公式 \(\chi(\mathcal{O} X) = \frac{1}{12}(K_ X^2 + \chi {\text{top}}(X))\)。 应用示例 曲线上的向量丛 ：计算 \(H^i(X, E)\) 的维数，通过陈类与度数关联。 曲面的嵌入几何 ：若 \(X\) 为射影曲面，\(D\) 为除子，定理给出 \(H^0(X, \mathcal{O}(D))\) 的下界估计。 模空间理论 ：在稳定向量丛的模空间研究中，定理用于计算虚数维数。 推广与现代表述 定理可推广至奇异簇（通过虚周环）或导出范畴框架。在现代表述中，它被视为 \(K\)-理论到上同调的自然变换，并与指标定理（如Atiyah-Singer定理）深刻关联。